Polynôme caractéristique

Allez à : Exercice 1 Correction exercice 2. 𝑦′′ − 3𝑦′ = 0 (𝐸′) L’équation caractéristique de (𝐸′) est : 𝑟2 − 3𝑟 = 0 ⇔ 𝑟 = 0 ou 𝑟 = 3 La solution générale de (𝐸′) est : 𝜑(𝑥) = 𝜆1 + 𝜆2𝑒3𝑥 0 est une solution simple de l’équation caractéristique et le degré du polynôme 2 est 0 donc il existe une solution particulière de (𝐸) de la forme 𝜑𝑃(𝑥)

978-2-10-053787-7 Table des matières Avant-propos c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 1 : Mathématiques IX 1 1. Algèbre 1.1 Relations 1.2 Structures algébriques 1.3 Nombres entiers, nombres rationnels 1.4 Arithmétique dans Z 1.5 Polynômes et fractions rationnelles 1.6 Généralités sur les applications 1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 1.9 Espaces vectoriels euclidiens 1.10 Réduction des endomorphismes 1 1 2 5 7 8 11 12

matières 1 Algèbre 1.1 Algèbre générale . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nombres complexes . . . . . . 1.1.3 Trigonométrie . . . . . . . . 1.1.4 Dénombrement . . . . . . . . 1.1.5 Structures algébriques usuelles 1.1.6 Polynômes . . . . . . . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Déterminants . . . . . . . . . 1.3 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espaces préhilbertiens

291 292 293 294 295 297 18.5 18.6 18.7 18.8 19 Polynômes 19.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Les ensembles K[X] et Kn [X] . . . . . . . . . . 19.1.2 Évaluation d’un polynôme . . . . . . . . . . . . 19.2 Opérations usuelles dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Addition et multiplication par un scalaire . . . . 19.2.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Composition des polynômes . . . . . . . . . . . 19.2.4 Dérivation . . . . .

temporels: Considérons ( ) ( ) ( )pD pNpF = avec deg(N)≤deg(D) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pD pN pD pN pD pN pD pNpF 3 3 2 2 1 1 ++== Avec: 1- D1(p) est un polynôme ayant toutes les racines simples, 2- D2(p) est un polynôme ayant toutes les racines complexes conjuguées deux à deux, 3- D3(p) est un polynôme ayant des racines multiples. - Cas 1: Si les pôles sont simples ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 1 1 − − − ++ − + − = n n pp A pp A pp A pD pN LLL Avec:

10 14.3. Ordre quelconque . . . . . . . . . . . . 10 14.4. Déterminant d’un produit . . . . . . . 10 14.5. Dét. d’une mat. triangulaire par blocs 11 15. Réduction des Endomorphismes 11 15.1. Valeurs propres et vecteurs propres . 11 15.2. Polynôme caractéristique . . . . . . . 15.3. Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . 11 15.4. Diagonalisibilité et diagonalisation . 11 15.5. Triangularisation . . . . . . . . . . . 11 15.6. Puissances d’une matrice . . . . . . . 11 11 11 12 12 . . . . . . 5

un prélèvement d’information. 6/36 Schéma bloc   A partir de ces éléments , on peut construire schématiquement un système asservi. On fait ainsi apparaître les grandeurs caractéristiques suivantes : – – – – – Yc grandeur d’entrée appelée consigne Y grandeur de sortie (ou sa mesure) qui est la variable caractéristique de l’état (vitesse, position, température,...) du système ; ε erreur ou écart. U grandeur de commande (ou entrée du système) NB : Y et Yc de même dimension ! 7/36 Schéma bloc

graphiste a besoin de construire une courbe lisse qui passe par un certaine nombre de points donnés (b0, c0), (b1, c1), (bn , cn). Une façon (assez basique) de faire cela est de construire un polynôme dont le graphe passe par ces points. Nous supposons donc donnés les points (bi , ci ) et nous cherchons un polynôme P(x) = an xn + . . .+ a0 qui a le propriété que P(b0) = c0, . . .P(bm) = cm . 1. Montrer que cela équivaut à M(b0, . . . bm)  a0 a1 ... an =  c0 ... cm  ou M(b0, b1, . .

. . . . . . . 9 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . 10 9 13. Réduction des Endomorphismes 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. Valeurs propres et vecteurs propres . Polynôme caractéristique . . . . . . . Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . . Diagonalisibilité et diagonalisation . . Triangularisation (ou trigonalisation) Puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G. Qu’est-ce que la quatrième proportionnelle à 3 nombres ? La quatrième proportionnelle à 3 nombres  a, b et c est le nombre x tel que a = c b = x 2. Factorisation et C.E : A. Qu’est-ce que factoriser un polynôme ? Factoriser un polynôme, c’est le transformer en un produit de facteurs. B. Méthodes : I. La mise en évidence (infinité de termes) II. Les produits remarquables : a) Le carré d’un binôme (3 termes, 2 carrés parfaits) b) Le produit