Polynôme minimal

z16 3 2 3 3 2 24 5 24 = = 201-016-50 Les polynômes Soit le polynôme suivant : −4x2 y3 − 6x2 y2 − 4xy + 5 . a) Quel est le terme constant ? b) Quel est le degré et quel est le coefficient du premier terme ? c) Quel est le degré et quel est le coefficient du deuxième terme ? d) Quel est le degré et quel est le coefficient du troisième terme ? e) Quel est le degré du terme constant ? f) Quel est le degré du polynôme ? Produit de polynômes Effectuer et simplifiez votre réponse s’il y a lieu:

suppose que tous les ai sont des 1. Montrer que si p a une racine rationnelle αβ (avec α et β premiers entre eux) alors α divise a0 et β divise an . √ √ 2. On considère le nombre 2 + 3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel. Indications 7. 1. Calculer β n p( αβ ) et utiliser le lemme de Gauss. 2. Utiliser la première question avec p(x) = (x2 − 5)2 − 24. Correction 7. 1. Soit α β ∈

Les polynômes A° Définitions : • Un monôme de variable x et à coefficient a est une expression de la forme a . xn dans laquelle a est un nombre réel non nul et n est un nombre naturel. • Le degré d’un monôme par rapport à une variable est l’exposant de cette variable dans le monôme. • Des monômes semblables sont des monômes qui ont la même partie littérale. • Des monômes opposés sont des monômes semblables dont les coefficients sont opposés. • Un polynôme est une

10 POLYNOMES On note K = R ou K = C et X la fonction x a x . Définitions Un monôme sur K est de la forme aX k où k ∈N et a ∈ K . Un polynôme P sur K est une somme finie de monômes. Si le polynôme P n’est pas nul, il existe un unique n ∈N et un unique (a0 ,..., an ) ∈ K n +1 avec an ≠ 0 tels que : P = a0 + a1 X + .... + an X n . fiche n° (suite) 10 Formule de Taylor ∀P ∈ K n [ X ] ∀α ∈ K P( X ) = ∑ P ( k ) (α ) ( X − α) k . k! k =0 n Théorème de D’Alembert-Gauss Tout polynôme non

+ y = = 7 et xy = S = 12 2 En remplaçant y par 7 – x on obtient l'équation x(7 – x) = 12 qui peut s'écrire encore x2 – 7x + 12 = 0. Comment résoudre une telle équation ? La réponse est dans ce qui suit. 1. Fonction polynôme du second degré Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur , pouvant se ramener à la forme : P(x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels avec a ¹ 0 L'expression ax2 + bx + c est encore appelée trinôme du second degré. Exemples

Fiche Révision n°1. Polynôme et équation du 2nd degré L'expression ax 2bxc est un polynôme du 2nd dregré. Pour résoudre l'équation du second degré ax 2bxc=0 où a, b et c sont des réels , a non nul, ou pour déterminer le signe de l'expression ax 2bxc , On calcule la quantité : Δ = b² – 4ac , (ce réel est appelé discriminant du trinôme ax 2bxc ). ax 2bxc=0 n'a pas de solution. Si Δ < 0 , l'équation n'a pas de racines réelles. L'équation On ne peut pas factoriser l'expression ax 2bxc

l’équation =0 sont appelées les racines du polynôme. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ Page 8 sur 18 7 September 2011 Chap 1. Second degré Première STI2D2 Théorème de factorisation o si riser o si ser o si dans . gaelle.buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ Page 9 sur 18 7 September 2011 alors il y a deux racines et et on peut facto- alors il y a une seule racine et on peut factori- alors le polynôme ne peut pas être factorisé Chap

que P e e poss`de une racine dans Q e Solution 4 Voici la solution qui n’est pas bien pass´e ` la photocopieuse, revue et augment´e : e a e On note a la racine multiple de P dans C. Si a est un rationnel c’est gagn´. Sinon, on note P1 le polynˆme minimal e o 2 de a (on rappelle que alors a est racine simple de P1 ). P1 est de degr´ sup´rieur ou ´gal ` 2. Mais alors P1 |P . En e e e a effet, a est racine de P donc P1 |P et on peut ´crire P = P1 Q. Mais a est encore racine de Q car racine simple de P1

nulles, on obtient donc après identification : 4x3 2x2 − 5x + 3 = 0 + 6x2 − 4x − 21 = 0. Il est facile de résoudre la première équation et de vérifier si on obtient une racine de l’autre équation. On trouve que 3/2 est racine. On factorise alors le polynôme par z − 3/2, et on trouve (par exemple en procédant par identification) : 4iz 3 + 2(1 + 3i)z 2 − (5 + 4i)z + 3(1 − 7i) = (z − 3/2) 4iz 2 + 2(1 + 6i)z + 2(−1 + 7i) . Reste à résoudre ensuite l’équation : 4iz 2 + 2(1 + 6i)z + 2(−1 + 7i) = 0 3 dont

positifDonc son signe est : x | | 5x + 7 | - 0 + | | 2) Dresser le tableau de signe de l’expression : Δ &gt; 0 donc le polynôme s’annule pour deux valeurs de x : et Le coefficient de x² est strictement positif donc le signe de 5x² + 8x – 4 est : x | -2 | | + 0 -