Polynôme minimal

a⊕ x = b ⇔ x = a⊕b 9 Écriture des équations logiques Définitions: Apparition d’une variable = Lettre Produit de variables sous forme simple ou complémentées = Monôme Somme de monômes = Polynôme z = a + b.c.(d + e) Expression algébrique = a + b + c + (d + e) Développement =a+b+c+d.e Polynôme de 4 monômes de 1 et 2 lettres Fonctions logiques et formes canoniques f fonction logique de n variables • On appelle «minterme» de n variables, l’un des produits de ces variables ou de leurs

étape: on compare ces valeurs. La plus grande donne le max de f sur I et la plus petite donne le min de f sur I. 3. Exemple f(x) = 1 x 3 − 1 x 2 − 2x + 5 pour x de [−4; +3] 3 2 1ère étape: f est de classe C ∞ sur R car c’est une fonction polynôme. f est donc continue et dérivable sur ] − 4 ; + 3[ f (x) = 0  x 2 − x − 2 = 0  (x + 1)(x − 2) = 0  x = −1 ∈] − 4 ; + 3[ ou x = +2 ∈] − 4 ; + 3[ Il existe donc deux points candidats x 1 = −1 ou x 2 = +2 2ème étape: f(−4) = −49/3 ; f(+3) = 3, 5

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Construction de C . . . . . . . . . . 4.1.2 Écriture algégrique et conjugué . . . 4.1.3 Écriture polaire, module et argument 4.2 Propriétés des nombres complexes . . . . . . 4.2.1 Racines de polynômes . . . . . . . . 4.2.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Transformations géométriques . . . . 5 Groupes 5.1 Loi de composition . . . . . . . . . . . 5.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Généralités . . . . . . . . . . .

. . . . 8.4.1 La constante δ . . . . . . . . 8.4.2 Calcul d’intégrale multiple via 9 Polynômes 180 9.1 Polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.1.1 Anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.1.2 Représentation dense et représentation creuse . . . . . 184 Calcul mathématique avec Sage 9.1.3 Arithmétique euclidienne . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Polynômes irréductibles et factorisation . . . . . 9.1.5 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . .

traité ce chapitre en cours. 4. Méthode 4 : On utilise les les identités remarquables et définition du maximum d’une fonction ou d’une somme algébrique. 5. Méthode 5 : la plus appropriée pour les classes de première. On utilise la forme canonique d’un polynôme de second degré, le discriminant et les propriétés d’une parabole, Voir DM 1ere S ES STI. Méthode 1 Conjecture calculatrice Méthode 2 Maximum d’une fonction Méthode 3 Propriétés algébriques Méthode 4 Méthode 5 Forme canonique Niveau première

pour les systèmes linéaires. Il y a des cas où les méthodes qu'on vient de voir ne marchent pas trop bien. Dénition. On dénit le conditionnement d'une matrice M symétrique dénie positive comme le rapport entre la valeur maximale et la valeur minimale de ses valeurs propres, i.e. K2 (M ) = λmax (M ) . λmin (M ) 10 On peut montrer que plus le conditionnement de la matrice est grand, plus la solution du système linéaire obtenue par une méthode directe peut être mauvaise. Par exemple

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 POLYNOMES 1.1 Algèbre des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Opérations sur K[X] . . . . . . . . . . . . . 1.2 Division des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Divisions suivant les puissances décroissantes 1.2.2 Algorithme d’Euclide, PGCD . . . . . . . . 1.2.3 Divisions suivant les puissances croissantes . 1.3 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Factorisation

a) Calculer l’aire des triangles MNC et IDN. b) Calculer l’aire du trapèze BAIM. c) On note S(x) l’aire du triangle INM , montrer que : S(x) = ( x²  9x + 36). 2. Déterminer la position des points M et N pour que l’aire du triangle INM soit minimale. EXERCICE 3 : On rappelle que dans un repère orthonormé lorsque A(xA ;yA) et B(xB ;yB) on a : AB = Partie A : Soit f = où u est une fonction positive Propriété 1 : si u est une fonction croissante sur un intervalle I alors f est croissante

Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) Les polynômes irréductibles 5) PPCM Annexe I : nombre d'injections, de surjections et de partitions Annexe II : les axiomes de Peano Annexe III : analyse non standard Annexe IV : Le numéro INSEE Annexe V: Utilisation

sont l’outil principal d’approximation locale des fonctions. L’objectif de ce chapitre est de vous apprendre à les calculer. Vous aurez essentiellement besoin de savoir manipuler des polynômes, ainsi que d’avoir assimilé les limites, la comparaison des fonctions et la dérivation. Table des matières 1 Cours 1.1 Polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . 1.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . 1.3 Opérations sur les développements limités 1.4 Développement des fonctions usuelles . . . 1.5