Polynôme symétrique

problème, il s’agit de : – combiner les apports de l’utilisation d’un graphique et d’une résolution algébrique, – mettre en relief les limites de l’information donnée par une représentation graphique. Les fonctions utilisables sont les fonctions polynômes de degré 2 ou homographiques. Expressions algébriques Transformations d’expressions algébriques en vue d’une résolution de problème. • Associer à un problème une expression algébrique. • Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée)

l'intervalle [-4 ; 4] \ {0} ayant les propriétés suivantes : · ¦ est impaire · ¦(0,25) = 4, ¦(0,5) = 2 · ¦(1) = 1 et ¦' (1) = -1 · C est symétrique par rapport à la droite d'équation y = x. Activités sur la dérivation Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ SOMMET D'UNE PARABOLE La parabole est le nom donné à la courbe représentative de toute fonction polynôme du second degré (définie par ¦(x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels (a ¹ 0)). Le but de cette activité est de trouver, dans

La fonction 1A : x ￿→ 0 si x ￿∈ A Exemples 1.1.3. Fonction polynôme Soient n ∈ N et (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ Rn+1 avec an ￿= 0. R → R La fonction P : est appelée fonction polynôme de degré x ￿→ a0 + a1 x + · · · + an xn n. R → R La fonction P : est appelée fonction polynôme nulle de degré −∞. x ￿→ 0 ￿n ￿n P (x) = k=0 ak xk = i=0 ai xi (k et i sont des symboles "muets"). Exemples 1.1.4. Fonction rationnelle Soient P et Q deux polynômes, D = {x ∈ R; Q(x) ￿= 0} D → R La fonction f : P (x) est appelée

de R. Soit f une fonction réelle d’une variable réelle, bijective de E dans F . La fonction réciproque f −1 existe et le graphe de f −1 est symétrique de celui de f par rapport à la première bissectrice (droite d’équation x = y). En effet, β = f −1 (α) ⇐⇒ α = f (β) Soit, (α, β) ∈ Cf −1 ⇐⇒ (β, α) ∈ Cf Les points (α, β) et (β, α) sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la première bissectrice. y y x = Cf −1 β Cf α o α β x 1 Fonction numérique d’une

nous utiliserons aussi des moyennes mobiles centrées qui sont une moyenne mobile d’ordre 2 d’une moyenne mobile simple d’ordre k. Nous mentionnerons aussi la moyenne mobile de Spencer d'ordre 15 qui est une moyenne mobile pondérée avec des poids symétriques, dont certains sont négatifs : 1 [ −3, −6, −5,3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21,3, −5, −6, −3] . 320 © Revue MODULAD, 2006 - 86 - Numéro 35 2.1 Les méthodes de prévision Le choix d’une méthode de prévision repose sur l’ensemble d’information

L’équation 10x² – 17x + 3 = 0 admet l’ensemble solution S = ⎨ ; ⎬ . ⎩5 2 ⎭ Exercice 7 P ( x ) = 2 x 3 − 8 x 2 − 22 x + 60 . P ( 2 ) = 2 ( 2 ) − 8 ( 2 ) − 22 ( 2 ) + 60 3 2 P(2) = 16 – 32 – 44 + 60 P(2) = 0. P(2) = 0 signifie que 2 est une racine du polynôme P. On peut alors factoriser P(x) par (x – 2) : P(x) = (x – 2) Q(x). Sachant que le degré de P est égal à 3, celui de Q est égal à 2. On peut écrire P(x) = (x – 2) (ax² + bx + c). En développant, on obtient : P ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx − 2ax 2 − 2bx

la figure correspondante. B C Exercice 4 (3 points) OABC est un carré de côté 3. I est le point de [OA] tel que OI = 1 et J est le point de [OC] tel que OJ = 1. Ainsi (O; I; J) est un repère orthonormé. E J De plus, D est le symétrique de I par rapport à O et E est le point tel que OJED soit un carré. D O   onner, sans justification, les coordonnées des points A, B, C, D, et E. D I A 2  éterminer une équation de chacune des droites (AJ), (CD) et (EB). D 3 

1 1 5 5 6 12 12 12 13 14 19 20 21 22 24 24 24 25 27 Fonctions constantes par morceaux Fonctions linéaires ou anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes de degré quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notion d'une fonction numérique de deux variables réelles . . . . . . . . . . . Exemples et contre-exemples

séries de Taylor réelle qu’on connaît bien. De façon intuitive, on se sert d’un polynôme généralisé faisant intervenir les puissances formelles. Ainsi, considérons le polynôme généralisé prennant comme terme principal le ψ(k)(x) venant de la définition 2.2. Pn(x) = n∑ k=0 αkψ (k)(x). (2.4) Sachant que ψ(k)(x) et ϕ(k)(x) sont composés de X̃(k)(x) et X(k)(x) qui sont des généralisations des puissances (x − x0)n, alors le polynôme (2.4) qui vient d’être présenté ressemble à celui des séries de Taylor. Par

lim Un = 4 . n→+∞ 3 3-1 Parité - Périodicité Etude de fonction • f est paire si D f est symétrique par rapport à 0 et si f (−x) = f (x) pour tout x ∈ D f . La courbe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. • f est impaire si D f est symétrique par rapport à 0 et si f (−x) = − f (x) pour tout x ∈ D f . La courbe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine. • une fonction f définie sur R est périodique de période T si f (x + T ) = f