Polynôme symétrique

pts 1. 20. 4ème degré, tr. équilatéral, Am. du Nord 2001 1. 21. 2nd degré et barycentre, France 2004 - 5 pts 1. 22. 3ème degré, losange, N. Calédonie 2002 1. 23. Système, Losange et rotation, Polynésie 2002 1. 24. 2nd degré 1. 25. 2nd degré 1. 26. Polynôme 1. 27. Interprétation géométrique 1. 28. Interp. géom, Am. Nord 06/2008, 5 pts 1. 29. Homographie+ROC, Am. Nord 2006 - 5 pts 1. 30. Homographie 1. 31. Homographie, Polynésie 2006 1 2 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 11 12 14 16 18 18 19 20 20 22 22 24 24 25

2x + y, le graphe G, défini par l’équation z = 2x + y, est un plan passant par O et dont un vecteur normal est (2, 1, −1) (figure 1.2). z y x Fig. 1.2 – Plan d’équation z = 2x + y. Formes quadratiques Soit A ∈ Sn (Ê) une matrice carrée symétrique. On appelle forme quadratique associée à A la fonction numérique (c’est-à-dire à valeurs dans Ê) définie par f: 1 Ên → Ê x → y = x′ Ax = 1≤i,j≤n ai,j xi xj on note en général les vecteurs en colonnes, le signe ′ signifiant la transposition

de Mn(IR). 3) Soit g l’application qui, à toute matrice M de Mn(IR) associe g (M) = M + tr(M) J, où J désigne une matrice non nulle de Mn(IR) dont la trace est nulle. On admet que g est un endomorphisme de Mn(IR). a) Établir que le polynôme X 2 – 2 X + 1 est un polynôme annulateur de g. b) Montrer que 1 est la seule valeur propre de g. c) g est-il diagonalisable ? Sujet EDHEC 2005 – Math S 1 Exercice 2 Pour tout réel x, on note ⎣ x ⎦ la partie entière de x et on rappelle que ⎣ x ⎦ est le seul entier

1), B(2 ; 4), C (3 ; 9), A' (-1 ; 1), B' (-2 ; 4) et C' (-3; 9).Remarque : Les points A et A' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (OJ). Il est est de même des points B et B', et C et C'. D'une façon générale,pour tout x, (-x)² = x² d'où f (-x) = f (x) On en déduit que pour tout x, les points M(x ; x²) et M'(- x ; x²), sont deux points de la parabole et que M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. L'axe des ordonnées et donc un axe de symétrie de la parabole.

« 0 ( ( », mais f(x) = x²ex ( 3x ex ( 3ex et on sait que xnex = 0 donc x²ex = 0 et x ex = 0 et par addition, f(x) = 0 b. Etudier les variations de f. ω x ( x² ( 3x ( 3 est dérivable sur IR puisque c’est une fonction polynôme et x ( ex est dérivable sur IR donc f est dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables. ω f’(x) = (2x ( 3)ex + (x² ( 3x ( 3)ex = ex (x² ( x ( 6) x² ( x ( 6 a deux racines évidentes : (2 et 3 donc f’(x) = (x + 2)(x ( 3)ex

(R) une matrice triangulaire supérieure. Montrer que T commute avec sa transposée si, et seulement si, la matrice T est diagonale. Exercice 15 [ 03166 ] [correction] Soit n 2. Déterminer les matrices de Mn (K) commutant avec toutes les matrices symétriques.  1 A= 0 0  0 1  1 1 1 0 de deux manières différentes. Exercice 21 [ 01254 ] [correction] On considère la matrice A= −1 3 −2 4 Exercice 16 [ 03167 ] [correction] Soit n 2. Déterminer les matrices de Mn (K) commutant avec toutes les matrices

b) f est continue sur R, elle l'est donc sur [xo , yo]. e t f (xO). f (Y,) < 0 Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires : 3 y lxo >YO [ tel que f ( ) = 0. Y c) Si f est une fonction polynôme de degré impair, elle vérifie les hypothèses de l'enoncé donc appliquer a) et b) et conclure : Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle. Démontrer que l'équation (E) admet au moins une solution réelle. (El - COS X 1 1 2 - - (x + 1) 2 =O Solution Posons

x 3−ln x 0 + e3 − +∝ 2 2-1 Parité Etude de fonctions • f est paire si D f est symétrique par rapport à 0 et si f (−x) = f (x) pour tout x ∈ D f . La courbe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. • f est impaire si D f est symétrique par rapport à 0 et si f (−x) = − f (x) pour tout x ∈ D f . La courbe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine. 2-2 Axe et centre de symétrie • C f admet la droite d’équation x =

. . . 3.4.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Equations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6 Equation de Ricatti (polynôme à coefficients dépendant de t de degré 2 en x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.7 Equations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.8 Equation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formes différentielles

représentation graphique d’une fonction définie par une formule algébrique, il est intéressant, notamment pour les fonctions définies par morceaux, de faire écrire aux élèves un algorithme de tracé de courbe. Les fonctions utilisables sont les fonctions polynômes de degré 2 ou homographiques. Repères 2de, Livre du professeur Chap. 1 Généralités sur les fonctions Livre du professeur Entrée du chapitre (p. 6-7) Permet l’introduction des notions suivantes : - équation (citation et devinette) ;