Polynôme symétrique

. . . . . . . . . . . . . . . page 23 2.3.1 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 23 2.3.2 Polynômes de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 25 Le symbole Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

est neutre e * e' = e' car e est neutre donc e = e'. e) Elément symétrique : Soit E muni d'une loi *, et d'un élément neutre e. On appelle symétrique d'un élément x un élément x' tel que : x * x' = x' * x = e EXEMPLES : Le symétrique de x pour + est –x (appelé opposé de x). 1 Le symétrique de x non nul pour × est (appelé inverse de x) x Le symétrique de f bijective pour o est f–1 (appelé réciproque) Il n'y a en général pas de symétrique pour ∩ et ∪. – et /, n'ayant aucune propriété particulière, apparaissent

réelles 1 R2 et quelques uns de ses sous-ensembles remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fonctions numériques de deux variables réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Polynômes 4 Principe de récurrence et symboles de sommations 1 Symboles de sommations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Principe de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Algèbre 19 2.1 Dénombrements, applications et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

linéaire A alors la courbe D(Γ) admet le vecteur A(v) comme vecteur tangent au point D(M ). −1 (b) Si ϕ : J → I est bijective alors le graphe de sa fonction réciproque ϕ : I → J est le symétrique {(y, ϕ−1 (y)) | y ∈ I} = {(ϕ(x), x) | x ∈ J} du graphe {(x, ϕ(x)) | x ∈ J} de ϕ. Ainsi le vecteur (ϕ (x), 1), symétrique par rapport à la première diagonale du vecteur (1, ϕ (x)) tangent en (x, ϕ(x)) au graphe de ϕ, est tangent en (ϕ(x), x) à celui de ϕ−1 . 1 Si de plus ϕ (x) = 0 est non nul, on a (ϕ (x)

allouer autant de canaux pour le flux montant que pour le flux descendant. On obtient ainsi une technologie DSL symétrique (SDSL). 4. On peut obtenir : 4 312,5 × 32 = 138 kbit/s pour le flux montant. 5. Il reste pour le flux descendant : 248 – 32 = 216 canaux, soit un débit binaire de 931,5 kbit/s. 6. On peut obtenir : 15 × 4 000 × 224 = 13,44 Mbit/s. Remarque Les technologies symétriques sont réservées aux opérateurs et aux fournisseurs d’accès. Elles ne sont pas disponibles pour les abonnés

LES FONCTIONS USUELLES Chapitre 2 Les fonctions les plus simples sont celles que l’on peut construire à partir de la variable en utilisant des opérations élémentaires (addition, multiplication etc.), notammment les polynômes et fractions rationnelles. En ajoutant des extractions de racines carrées ou autres, et plus généralement des solutions d’équations polynômiales, on obtient des 1 fonctions plus variées, comme par exemple x → √ . Toutes ces fonctions sont dites 1 + x2 algébriques, les manipulations

−c  b 0 −f c f 0      fonctionnera. 48 Éxercices 1.4 21. En invoquant le Théorème 1.4.9. (a) Si A = BBT, alors AT = (BBT )T = (BT )TBT = BBT = A Alors A est symétrique. D’autre part, si A = B + BT, alors AT = (B + BT )T = BT + (BT )T = BT + B = B + BT = A A est donc symétrique. (b) Si A = B – BT, alors AT = (B – BT )T = [B + (–1)BT]T = BT + [(–1)BT]T = BT + (–1)(BT )T = BT + (–1)B = BT – B = –A A est antisymétrique. 22. Du Théorème 1.4.9, (An)T = (A(An–1))T

celles d’une suite aléatoire blanche. Des suites binaires cycliques favorisent la formation de raies spectrales qu’il vaut mieux éviter. On utilise un polynôme diviseur normalisé à l’émission (avant modulation), le même polynôme à la réception permet de retrouver la suite de données initiales. Exemple : Brouilleur du V22 (1980) En V22, le polynôme est 1 + x-14 + x-17 LESCOP Yves [v 2.3] - 7/22 - Post BTS R2i Modems ____________________________________________________________ _________

. . 2 2 4 5 8 9 2 Graphes planaires  formule d'Euler 3 Coloriages Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombre chromatique . . . . . . . . . . L'algorithme glouton . . . . . . . . . . Le polynôme chromatique d'un graphe Coloriages d'arêtes . . . . . . . . . . . Introduction aux problèmes extrémaux Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .