Polynôme

Polynômes du second degré 1. Equation du 2nd degré a. La forme générale d'une équation du 2nd degré est : ax² +bx + c = 0 avec a # 0 exemples : 3x² - 5x + 2 = 0 où a = 3 ; b = - 5 et c = 2 - 4x² + 7 = 0 où a = - 4 ; b = 0 et c = 7 b. Le nombre de solutions d'une équation du 2nd degré dépend de la valeur d'un nombre T appelé discriminant et tel que T = b² - 4 ac. On distingue 3 cas en fonction de la valeur de T Si T > 0, l'équation a deux solutions distinctes : −b− ∆ −b+ ∆ et x 2 = x1

Polynômes et équations du second degré Savoir-faire : Mettre un polynôme du second degré sous forme canonique Déterminer les racines d'un polynôme du second degré Etudier le signe d'un polynôme du second degré Utiliser la forme la plus adaptée (développée, canonique, factorisée) d'un polynôme du second degré en vue de résoudre un problème 1. Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c

1. Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c où a, b et c sont des réels avec a ≠0 Exemples P(x)=2x2+3x−5 est un polynôme du second degré. P(x)=x2−1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine) P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant

l'équation suivante : x^4 - 3x^2 - 4 = 0 indication : on pourra poser X = x^2 exercice 3 Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x - 5\sqrt{x} - 36 = 0 indication : on pourra poser X = \sqrt{x} Exercice 4 On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre. exemple : f (x) = x4 - 5x3 + 6x² - 5x + 1 Le but de l'exercice est de résoudre l'équation (E) : x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0, pour tout x appartenant

Calcul scientifique Approximation polynômiale uniforme-Polynômes de Bernstein [pic] On considère les suites suivantes : [pic] Question 1 : Montrons que [pic] [pic] On reconnaît la formule du binôme de Newton, [pic] Dans notre cas, [pic] d’où : [pic] On veut montrer que, [pic] [pic] [pic] On pose[pic]. [pic] On vérifie sur Scilab pour le cas particulier où : x=0,1 et n=3

Mr HAMADA  ‐ Prof Principal     Chapitre 3                                 Notions de polynômes  I – Notion de fonctions  Définition  Soit E une partie non vide de  . Lorsque à tout réel x de E, on associe au plus un réel y , on dit  qu’on a définit  une fonction de E vers  .   et note  : Si on désigne par f cette fonction, on note                                                                                                                       L’ensemble D des réels x

1 – Etude de fonctions polynômes – Corrigés des exercices – Fiche n°1 Exercice 1 : 1) f ′ ( x ) = −2x + 58 2) et 3) −2x + 58 = 0 ⇔ −2x = −58 ⇔ x = x 0 Signe de f ′ ( x ) = −2x + 58 Exercice 2 : 1) f ′ ( x ) = −2x + 36 −58 = 29 −2 29 + 2) et 3) −2x + 36 = 0 ⇔ −2x = −36 ⇔ x = 60 x 0 Signe de f ′ ( x ) = −2x + 36 – –320 Exercice 4 : 1) C '(x) = x − 10 – Variations de f –50 –210 Exercice 3 :

Polynômes du second degré Différentes formes d’un polynôme On appelle polynôme du second degré toute expression de la forme ax2 + bx + c avec a, b et c sont des nombres réels, et a ¹ 0. On parle parfo is de trinôme du second degré Exemples A(x) = x² + 8x – 9 et B(x) = -x² + 5 2 x + 3 7 sont des polynômes du second degré. Forme développée, forme factorisée, forme canonique Un polynôme du second degré peut être sous forme développée, forme factorisée, ou forme canonique. On appelle forme

Feuille d’exercices 11 Polynômes Définitions 1. Calculer le degré et le coefficient dominant de : (a) X 3 − 3iX + X ( X − 2 + i )2 (b) ( X − 2)n − ( X + 1)n (c) n k =0 ∏ ( X k − 2k ) P( X 2 ) = X 2 P 2. Résoudre dans K[ X ] On commencera par trouver une condition nécessaire sur le degré d’une solution. 3. POur n ∈ N∗ on pose Pn = 1 ( X + i )2n+1 − ( X − i )2n+1 2i . Montrer que Pn ∈ R[ X ], calculer son degré, son coefficient dominant (et ses racines). Division euclidienne 4. Calculer

Introduction aux Math´matiques Financi`res e e Ecole Centrale Paris Deuxi`me ann´e, S3 e e Lionel Gabet, Fr´d´ric Abergel, Ioane Muni Toke e e Version 2010 Introduction aux math´matiques financi`res e e 2 Table des mati`res e I Produits et march´s financiers e produits financiers classiques Les actions et les indices . . . . . Les obligations . . . . . . . . . . Les swaps . . . . . . . . . . . . . Les forwards et les futures . . . . Les options . . . . . . . . . . . . Les produits structur´s