Polynôme

Universit´ Mohammed V - Agdal e Facult´ des Sciences e D´partement de Math´matiques et Informatique e e Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc .:: Module Math´matiques I : Alg`bre ::. e e Fili`re : e Sciences de Mati`re Physique (SMP) e et Sciences de Mati`re Chimie(SMC) e Chapitre III: Polynˆmes sur R et C o Chapitre IV: Fractions rationnelles Par Prof: Jilali Mikram Groupe d’Analyse Num´rique et Optimisation e http://www.fsr.ac.ma/ANO/ Email : mikram@fsr.ac.ma Ann´e : 2005-2006

td15(polynomes).dviLycée Joffre Année 2015-2016 PCSI 1. Feuille 15 TD n◦15: Polynômes . Exercice 1 Déterminer le reste de la division euclidienne de X4 +X3 + 2X + 1 par X2 + 1. Exercice 2 Déterminer a et b dans R tels que X2 + 2 divise X4 +X3 + aX2 + bX + 2. Exercice 3 Effectuer la division euclidienne de A par B lorsque : 1. A(X) = X7 − 2X + 1 et B(X) = X2 − 1 2. A(X) = 3X5 + 4X2 + 1 et B(X) = X2 + 2X + 3 Exercice 4 Montrer que X (X − 2) divise (X − 1)4 + (X − 1)2 − 2 et calculer le quotient. Exercice

FONCTIONS TRINOMES OU FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE I- FONCTIONS TRINOMES 1- Définitions et forme développée : - On appelle fonction polynôme du second degré ou fonction trinôme toute fonction f définie sur IR par f (x )=a x 2+b x+c où a est non nul. - L'expression a x 2+b x+c est appelée polynôme du second degré ou trinôme. Exemples : fonctions f, g et h définies sur IR par : f (x )=3 x 2 – 2 x+1 ; g ( x)=( x+1)(3 x−1) et h( x)=( x+1)3 – (x−1)3 sont des fonctions trinômes.

Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul. Première ES / L Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme) Deux polynômes sont égaux si et seulement

en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point，c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition

. 3 1.2 Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Division euclidienne 5 1.2.3 Théorème de Weierstrass 1.3 Polynômes de Lagrange 1.4 Polynômes de Newton 1.5 * Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014 Enoncés 1 Polynômes Polynômes complexes L’anneau des polynômes Exercice 6 [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 03342 ] [correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈

a1,...,an des réels (an≠0). Une fonction polynôme (ou un polynôme) est une fonction P définie sur R qui peut s'écrire pour tout réel x sous la forme unique : P(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0 L'entier n est le degré de P. Les réels a0,a1,...,an sont les coefficients de P. Le polynôme nul (tous ses coefficients sont nuls) n'a pas de degré. La fonction P définie pour tout réel x par P(x)=3x4−x2+10x−5 est un polynôme de degré 4. Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients

[http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 [ 02131 ] Polynôme en une indéterminée L'anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d'inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d'inconnue P ∈ K [X]. [ 02127 ] Exercice 7 X MP Déterminer dans K [X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Exercice 8 [ 02132 ] Soit P ∈ K [X]. Montrer que P (X + 1) = +∞ n=0 1 (n) (X). n! P Arithmétique des polynômes Exercice 9 2 Exercice 2 Mines-Ponts MP

Existence et unicité Définition 3.1 On dit que f : D ⊂ R → R admet un développement limité à l’ordre n - en abrégé un DLn - en 0 si : f (x) = P (x) + o (x n ), où P est un polynôme de degré au plus égal à n. Proposition 3.1 (Unicité du DL) Si f : D ⊂ R → R admet un DLn en 0, il est unique. Si il existe, l’unique polynôme P tel que : f (x) = P (x) + o (x n ) est appelé « partie régulière » du DLn de f en 0. Corollaire 3.0.1 Si f : D ⊂ R → R est paire (resp. impaire) au voisinage de 0, et admet