Polynôme

est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine6. La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de π, et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée

16) ( ) 2 2 2 2 13 6 x x f x x x − + + = − − . 17) ( ) ( )2 2 3 2 2 6f x x x= + − − 18) 2 4 1 ( ) 2 3 x x f x x x − − − = + − 19) ( ) 2 1 3 5f x x x= − + − . Solutions 1) 2( ) 3 1f x x x= − + f Est une fonction polynôme donc Un réel a toujours une image. Donc fD = 2) 3 ( ) 2 4 x f x x = − . Pour les fonctions du type fractions rationnelles, l’ensemble de définition est l’ensemble des nombres pour lesquels le dénominateur est non nul.  / 2 4

f (z) n an (z − z0 ) = n≥0 f est analytique sur U si z = z0 + h et l'équation pose elle est analytique en chaque point de U. Parfois, on ci dessus devient f (z0 + h) an hn = n≥0 Example 1.2.2. (1) tout polynôme est localement la somme de son développement de Taylor : P (z) = n≥0 P (n) (z0 ) n (z − z0 ) n! 4 1. FONCTIONS ANALYTIQUES (2) 1 z est analytique sur f (z) = Z z0 pour C \ {0} car pour z0 = 0, Z = z −

 il y a erreur. Le CRC (Cyclique Redundancy Check) est une opération mathématique Le principe est  d'effectuer une division polynômiale sur le bloc de données grâce à un polynôme diviseur appelé :  "Polynôme Générateur". Cette division donne en résultat un reste qui est émis à la suite du bloc de  bits sur le support. Le choix du polynôme générateur déterminera la taille maximum des blocs qu'il  sera possible de contrôler ainsi que la taille du reste. Ce reste est placé à la fin du bloc de bits et est 

Calculer la dérivée ne`me de f , en déduire n k=0 n 2 . k Exercice 11 Soit f la fonction définie sur − π2 , π2 par f (x) = tan (x). Montrer que ∀n ∈ N∗ , f est de classe C n sur − π2 , π2 et que f (n) (x) = (1 + tan2 (x)) .Pn (tan (x)) où Pn est un polynôme de degré n − 1. 1 Exercice 12 Montrer que xn−1 .e x Exercice 13 (n) = (−1)n 1 .e x xn+1 où n ∈ N. Deux exemples de maximisation-minimisation 1. Quelle forme doit avoir un rectangle pour que l’aire soit la plus grande possible, lorsque le périmètre

dénominateur de H), on peut écrire : H ( p)  A  p  p1  p  p2   p  pn  Les polynômes N(p) et D(p) sont à coefficients réels, donc les zéros et les pôles sont soit réels, soit complexes conjugués. Il est donc toujours possible de regrouper dans la factorisation des termes du type :  p  p j  p  p j  (idem avec les zéros). Ainsi, il est toujours possible de décomposer les polynômes N(p) et D(p) en un produit de polynômes de degré 1 ou 2, à coefficients réels, ce qui montre l’importance des fonctions

efficace : cos3 θ sin2 θ d θ = 1 1 1 1 1 1 cos 5θ − cos 3θ)dθ = sin θ − sin 5θ − sin 3θ, ( cos θ − 8 16 16 8 80 48 on a donc besoin de savoir linéariser des polynômes trigonométriques. Retenez qu’en général, on factorisera pour déterminer le signe et on linéarisera pour dériver ou intégrer (que ce soit des fractions rationnelles, des polynômes...) 5.3 Développement de cos nθ et sin nθ cos nθ + i sin nθ = cos θ + i sin θ)n D’après la formule de Moivre que l’on développe avec la formule

. . . . . . 154 12.2 Approximation de la racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5 13 Complexes et polynômes 13.1 Racines carrées d’un complexe . . . . . . . . . . 13.2 Positions des racines d’un polynôme . . . . . . . 13.3 Racines d’un polynôme à coefficients réels . . . 13.4 Contrôle du module d’une racine d’un polynôme 13.5 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 158 12.2 Approximation de la racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6 13 Complexes et polynômes 13.1 Racines carrées d’un complexe . . . . . . . . . . 13.2 Positions des racines d’un polynôme . . . . . . . 13.3 Racines d’un polynôme à coefficients réels . . . 13.4 Contrôle du module d’une racine d’un polynôme 13.5 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

mal à démarrer ? Corrigés des exercices Z 231 231 233 236 238 11. Notions sur les fonctions de deux variables réelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 169 169 172 174 176 17. Polynômes, fractions rationnelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 247 248 251 257 258 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés