Primitive

quatre-vingt-onze e e a exercices et vingt-cinq figures. On y ´tablit, pour les fonctions d’une variable complexe, l’´quivalence e e entre holomorphie et analyticit´ (Cauchy, Morera). On y discute de la question du logarithme et plus e g´n´ralement des primitives, des pˆles et autres singularit´s. Pour ce faire, on y int`gre les fonctions e e o e e sur les chemins, ce qui am`ne le th´or`me des r´sidus et ses applications plus ou moins calculatoires. e e e e On y construit et ´tudie aussi des fonctions

1| et que cette fonction ne peut prétendre légitimement à un développement limité en 0, mais qu’elle est définie sur R\]-1,1[,de dérivée 1 )! 2 x 1 Dans ce formulaire, en subliminal, vous avez des dérivées et primitives classiques à donner en 3’23... Quelques primitives classiques (en plus des précédentes) On se place sur un interalle I où la fonction est continue. Þ x a 12 b 2 dx  1 arctan xba  K b 1 x 1 Þ sinx dx  ln|tan 2 |K et Þ cosx dx  argth sinx  K  ln|tan 1 x 1 Þ

FAUX 1 1 e 2. Soit f la fonction d´finie par f (x) = + ln(1 + ). On appelle D l’ensemble de d´finition de f et C sa courbe e x x repr´sentative dans un rep`re du plan. Alors : e e Vrai Faux D =] − ∞; −1[ FAUX f admet des primitives sur ] − ∞; −1[ ; l’une d’elles est la fonction F d´finie sur ] − ∞; −1[ par F (x) = (1 + x) ln(1 + x) + (1 − x) ln x. e Le candidat ne r´pond pas e FAUX lim xf (x) = 1 FAUX x→−∞ 3. Soit f la fonction d´finie sur [−3; 4] par f

PRIMITIVES. 1. Définition de primitives et conséquences. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien : ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x)

DÉTERMINER UNE PRIMITIVE Dans toute cette fiche, si ¦ est une fonction, on notera F l'une de ses primitives. La lettre c désignera une constante. On rappelle que F est une primitive de ¦ sur un intervalle I si : F'(x) = ¦(x) pour tout x Î I. On rappelle également qu'une primitive de ¦ + kg (k Î ) est F + kG. (Linéarité) Cas des fonctions polynômes Une seule formule à connaître : si ¦(x) = x n alors F(x) = x n+1 +c n +1 (x Î  et n Î ) Exemple 1 : Déterminer une primitive F de la

limk→bek-ebk-b=eb=elna=a. Donc limk→bk-bek-eb=limk→b1ek-ebk-b= 1eb=1a D’où limh→0Ta=1a . Lnx est dérivable et ln’x=1x CQFD « (lnu)’= u'u » (ln°u)’=ln’(u)×u'=1u×u'=u'u. « si u(x)>0 alors une primitive de u'u est lnu et si u(x)0 pour tout x de I: alors lnu est dérivable sur I et (lnu)’= u'u Donc lnu est une primitive de u'u sur I Si u(x)0X=-∞ or xlnx=eXXet limX→-∞eXX=0 par croissance comparée Donc limx→0x>0xlnx=0 En0 : méthode 2 : avec limx→+∞lnxx=0 ; on pose X=1x donc x=1X. limx→0x>0X=+∞ or xlnx=1Xln1X=-lnXX

. 6. Démontrer que est solution de l’équation différentielle + 2 = 3 . et Exercice 2 (primitives, 4 points) Les questions sont indépendantes. 1. Déterminer les constantes réelles , , pour que la fonction = + + soit une primitive de la fonction ∶ → 2. Déterminer la primitive de la fonction définie par = 3. Déterminer les primitives de la fonction ℎ définie sur 0 ; +∞ par ℎ 4. Déterminer une primitive de la fonction définie sur − , +∞ par = 0. définie sur R par . qui s’annule pour = = . .

Généralités A Primitives d’une fonction Les notions a) Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de . On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I et telle que : ∀x ∈ I , F ′ ( x ) = f ( x ) . b) Propriétés i. Soit F une primitive d’une fonction f sur l’intervalle I. L’ensemble des primitives de f sur I est alors constitué de toutes les fonctions de la forme F + k , où k est une constante quelconque. ii. Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle

Fonction numérique d’une variable réelle 1. 2. 3. 4. 5. 2 3 4 3 Ensemble des Nombres réels Limite et continuité Dérivabilité Etude d’une fonction EXERCICES 3 6 10 13 15 Primitives. Calcul intégral 16 1. 2. 3. 4. 5. 16 17 19 20 21 Primitives Intégration Méthodes d’intégration Calcul approché d’une intégrale EXERCICES Formule de Taylor. Développements limités 22 1. 2. 3. 4. 5. 22 23 24 26 27 Comparaison des fonctions

Chapitre 4 1er SRI&DSI I – Les primitives : Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle différent d'un singleton . I - 1 Primitive d’une fonction : Définition : Soit f : I → ℝ ,une fonction .On dit qu'une fonction F : I → ℝ est une primitive de f sur l'intervalle I si F est dérivable sur I et si : ∀x ∈ I : F ′( x) = f ( x) . Proposition 1: Soit f : I → ℝ ,une fonction admettant une primitive F sur I .Soit G : I → ℝ ,une fonction. Alors G est une primitive de f sur l'intervalle I si et