Primitive

7 ACTIVITÉS Activité 1 pour hauteurs donc un = 1 f n  b) De même, supérieurs : 1 vn =  f n n un vn 5 0,24 0,44 Intégration et primitives (page 192) Ainsi les suites ( un ) et ( vn ) convergent toutes les deux vers 1 = . 3 CHAPITRE 1 1 a) Les rectangles inférieurs ont tous pour largeur et n  0  1  n − 1 respectivement f   , f   ,..., f   n  n  n    0  1  n − 1  .   + f   + ... + f   n  n  n   pour la somme des aires des rectangles  1 

f : x a cos 2 x  4  π La fonction f est continue sur  0,  et l’intégrale I existe.  4 u '( x)  π avec u ( x) = cos x et donc u '( x) = − sin x Pour tout x ∈  0,  , f ( x) = − 2 u ( x)  4 1 1  π  π = est une primitive de f sur  0,  La fonction F définie sur  0,  par F ( x) = u ( x) cos x  4  4 π/4  1  et donc I =  = 2 −1  cos x  0  Finalement : I =∫ π/ 4 0 sin x dx = 2 − 1 cos 2 x © Gérard Hirsch – Maths54 1 Calcul

x ∈ [a, b] en particulier pour b . Remarque : La démonstration qu'on vient de faire est valable aussi pour les primitives et on a la proposition suivante : Proposition : Soient u et v deux fonctions de classe C1 sur [a, b] , alors on a : u (t)v(t)dt = u(t)v(t) − u(t)v (t)dt Exemple : Calculer les intégrales et primitives suivantes : 1. I= J= ln(t)dt. 2 2. t ln(t)dt. 1 1 3. K= 0 arctan(t)dt. u (t) = 1 et Pour 1)

. . . . . . . . . . . . 65 65 67 70 6 Intégrale d'une fonction d'une variable 6.1 Primitives d'une fonction d'une variable 6.1.1 6.1.2 6.2 6.3 6.4 Calcul de primitives Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 77 77 80 80 86 86 86 88 Applications des primitives au calcul d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégrales généralisées 6.4.1 6.4.2

variables x et Y en écrivant, sous la condition Y(x) non nul en tout point de J : Y'/Y = -b(x)/a(x) Si f(x) désigne une primitive de -b(x)/a(x), on a successivement ln |Y| = f(x) + C, ln désignant le logarithme népérien . Puis |Y| = ef(x) + C = eCef(x) avec C une constante arbitraire. La solution générale de (h) peut donc s'écrire : Y = k.ef(x) où f(x) désigne une primitive de -b(x)/a(x) et k une constante arbitraire. La solution de (e) s'obtient en ajoutant yo : y = yo + k.ef(x) La valeur

• 0 centrée en les entiers. ln t dt converge alors que lim ln = −∞ 0 On lira avec attention, à ce sujet, le paragraphe sur les contre-exemples. 2 2.1 Calculs d’intégrales impropres Recours à une primitive On utilise directement la définition. On cherche une primitive de la fonction et on passe à la limite. Il est important de raisonner en deux temps i.e en prenant des précautions quant à la borne qui pose problème. En effet une opération simple comme la linéarité de 2 l’intégrale

la dérivée seconde est positive est convexe, et toute fonction dont la dérivée seconde est négative est concave. Les primitives de la fonction f(x) = ax^2 + bx + c sont les fonctions du troisième degré de la forme  G_k(x) = \frac 1 3 ax^3 + \frac 1 2 bx^2 + cx + k, où k est une constante. Ce résultat se démontre par application des règles de calcul sur les dérivées ou primitives, ou par la méthode de la quadrature de la parabole qui mêle géométrie et passage à la limite.

sur l’intervalle ]0, +∞[. D’après le théorème 3, la fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout réel x > 0 g (x) = u (x) + v (x) = 0 + 1 1 = . x x Pour tout réel x > 0, f (x) = g (x) = 2. Les fonctions f et g sont donc deux primitives de la fonction x → un réel k tel que, pour tout x de ]0, +∞[, f(x) = g(x) + k. 1 . x 1 sur l’intervalle ]0, +∞[. On sait alors su’il existe x 3. Quand x = 1, on obtient f(1) = g(1) + k ou encore ln a = ln a + ln 1 + k et finalement

−4 3) e2/2 − 1/e − 1/2 4) ln(2) − ln(1 − x) pour x < 1 2 5) 1/3 6) −3/2 7) (ln2)/n 8) 1 − 2/e 9) ln(n) avec a > 0 et a ≠ 1 8 2 10) (7e + 16e + 17)/16 11) 4 − 8/e 12) π2 − 4 Rep : 1) 3 4 3 3 16 2) 2. Déterminer les primitives des fonctions suivantes. On précisera dans chaque cas l'intervalle. 2°) f(x) = x.e −x ; 1°) f(x) = ln(x) ; x2 3°) f(x) = ; x3 +1 1 . 4°) f(x) = tan(x) ; 5°) f(x) = cotan(x) ; 6°) f(x) = x. ln(x ) π π sin t cos t 3. 1°) Montrer

> Primitives Notions d’intégrale Séquence 6 – MA01 159 © Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Cours A B A C A D E ............................................................................................................................................................................... 163 Primitives d’une fonction continue sur un intervalle Exercices d’apprentissage (Série 1) Primitives et calculs d’aires Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle Exercices d’apprentissage