Primitive

Chapitre 3 Dérivées et primitives I- Rappels sur la dérivation 1) Nombre dérivé Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I , et a un nombre de I . f a  h   f a  admet h une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est alors notée f ' a  , et appelée le nombre dérivé de f en a. On dit que f est dérivable en a si le taux d’accroissement de f entre a et a  h : f a  h   f a  h f ' a   lim h0 Si f est dérivable en a , alors la courbe représentative

Ch 9 : Calcul intégral – Notion de primitives Savoirs faire |Savoir … |Comment faire ? | | |. Si on connaît une primitive F de f sur [a ; b], alors | | |[pic] = F(b) – F(a). | |

Calcul des primitives. Math122 TABLE DES MATIÈRES Calcul des primitives. Intégrales des fonctions élémentaires et Talor avec reste intégral. Table des matières 1 «Rappels» 2 2 trigonométrie 2.1 sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 tangente et fcts. réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 3 Primitives 3.1 Définitions des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de l’analyse. Pour la résolution d’équations différentielles par exemple (une tâche fondamentale en physique), ou même simplement pour trouver des primitives, il faut construire de nouvelles fonctions : le 1 logarithme népérien comme la primitive de x → s’annulant en 1 n’est pas le seul x 1 1 , ou même de ? exemple : quelles sont les fonctions primitive de x → √ 2 1 + x2 1+x C’est ce que nous allons découvrir dans ce chapitre. Les fonctions étudiées ici ne sont pas algébriques, on dit qu’elles sont

PRIMITIVES - COURS Si f est une fonction dérivable, on sait calculer sa fonction dérivée f ‘ On peut aussi considérer que toute fonction pourrait être vue comme la dérivée d’une autre. 1) Définition et premières propriétés Si f est une fonction définie sur un intervalle I, on appelle Primitive de f de I toute fonction F définie et dérivable sur I, telle que : pour tout x ∈ I , F ′ ( x ) = f ( x ) Remarques : 1) Les mots « Primitive de f de I » sont indissociables. 2) La nécessité de ne travailler

Chapitre 8 CALCUL DE PRIMITIVES 8.1 D´finition e D´finition: soit f une fonction d´finie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une e e fonction F d´rivable sur I et telle que, pour tout r´el x de I, F (x) = f (x). e e Th´or`me 1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I, deux e e d’entre elles diff´rant d’une constante. e Il est important de bien connaˆ les primitives de fonctions usuelles : on s’y ram`ne toujours. ıtre e La table ci-dessous ne pr´cise pas

Farquet Eté 2008 Table des matières 1 Introduction 2 2 Intégrale indéfinie 2.1 Définitions et généralités . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Déf. d’une primitive . . . . . . . . . . . 2.1.2 Primitives d’une fonction . . . . . . . . 2.1.3 Déf. d’une intégrale indéfinie . . . . . . 2.1.4 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . 2.2 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Intégration par identification . . . . . . 2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . 2.2.3 Intégration par changement

[pic] ex – 1 = x + x ( (x) donc [pic] Théorème : [pic] IV) Dérivées et primitives : 1) Dérivée de eu : Théorème : Si u est dérivable sur un intervalle I , eu est dérivable sur I et (eu)’ = u’ eu Exemples : 1) On pose : [pic] et [pic]. Calculer leurs dérivées et étudier leurs variations . Solution : 2) ch’(x) = sh(x) et sh’(x) = ch(x) 2) Calcul de primitives : Exemple : Rechercher une primitive de la fonction f définie par : f(x) = (x-2) ex²-4x+1 Posons u(x) = x²-4x+1 ;

= e2x + 2 + e–2x et lim exp (x) = + ∞. (ex – e–x)2 = (ex)2 – 2ex e–x + (e–x)2 = e2x – 2 + e–2x d’où (ex + e–x)2 – (ex – e–x)2 = 4. x → –∞ x → +∞ Application 1 On obtient ln(5x) = – 1 1 1 1 d’où 5x = e– –4 puis x = e– –4. 4 5 3. Dérivée et primitives. Fonctions du type f : x ‫ ۋ‬eu(x) L’équation 4 ln(5x) + 1 = 0 a dans ]0 ; + ∞[ une solution : 1 1 1 1 le nombre e– –4 ; e– –4 ≈ 0,156 (valeur décimale arrondie 5 5 Activité. Un résultat étonnant ! a) b) c) d) f’(0) = 1. f’(1) = e ; f’(2) = e2

variables - Niveau 2 - L1/Math Sup 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = et − 1. Exercice 3 - Changements de variables - Recherche de primitives - L1/Math Sup - 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = x. Exercice 4 - Intégration par parties - Niveau 1 - L1/Math Sup Exercice 5 - Intégration par parties - Niveau 2 - L1/Math Sup 1. Intégrer par parties (deux fois). Un bon choix d’une primitive peut simplifier les calculs. 2. Intégrer par parties entre a > 0 et 1. Faire tendre a vers 0 tout à la fin... Exercice 6 -