Produit scalaire canonique

PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL DANS L'ESPACE EUCLIDIEN Avant toutes choses, nous avons besoin dans ce chapitre d'orienter l'espace, c'est-à-dire distinguer les deux types de repères suivants : K K → Repère direct k → → k J → → Repère O I indirect O → j j → i i I J Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe (O, k ), les pieds en O et regardant le point I. Un repère est dit "direct" si, l'observateur à le point J à sa gauche. Il est dit "indirect"

de http://www.ilemaths.net 3 Coordonn´ ees d’un vecteur AB Si AÔxA ; yA Õ et B ÔxB ; yB Õ alors on montre que AB ÔxB ¡ xA ; yB ¡ yA Õ. Coordonn´ ees de la somme de deux vecteurs Si uÔx; y Õ et v Ôx½ ; y ½ Õ alors u   v Ôx   x½ ; y   y ½ Õ Produit d’un vecteur par un nombre r´ eel λ Pour le vecteur u de coordonn´ees (a ;b) dans un rep`ere, le vecteur λu est le vecteur de coordonn´ees Ôλa; λbÕ dans le mˆeme rep`ere. Exemple : sur cet exemple, v ¡ 12 u avec uÔ2; 3Õ IV. Colin´earit´e de vecteurs

construire avec précision le triangle OCD. 4. Soit K le milieu de [AC].   Calculer les affixes des vecteurs OK et DB puis montrer que les droites (DB)et (OK) sont  perpendiculaires. (on pourra utiliser le produit scalaire u.v  xu xv  yu yv ) Exercice 2 : 4 points Une entreprise produit des objets qu’elle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deux types de défauts : • le défaut S de nature esthétique ; • le défaut F de fonctionnement. Un objet est déclaré parfait s’il ne présente

 2ème SEQUENCE : TRAVAIL ET ENERGIE L'ESSENTIEL Le travail d'une force constante Une force ne peut travailler que si son point d'application se déplace. On définit le travail d'une force comme le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement :  : travail (J)  : force (N) : déplacement (m) Selon l’angle formé entre la force et le déplacement, un travail peut être moteur (positif), résistant (négatif) ou nul. Ces trois situations sont représentées ci-dessous :

(2) cette propriété découle directement de la définition de λ ⃗ u et ⃗ v : Propriétés : Pour tous vecteurs ⃗ ⃗ ⃗ u = 0 ou ⃗ v = 0 alors ⃗ u .⃗ v =0 . (1) si ⃗ u .⃗ v =⃗ v .⃗ u . (2) ⃗ 2 2 u =∥ ⃗ u∥ . u par lui-même, appelé carré scalaire est noté ⃗ (3) le produit scalaire de ⃗ u 2 et ⃗ 2 2 1 1 1 2 2 2 (∥ ⃗ u +⃗ 0∥ −∥⃗ u ∥ −∥⃗ 0 ∥ ) = (∥ ⃗ u∥ −∥⃗ u ∥ )= ×0=0 . 2 2 2 0 .⃗ v = 0. de même, on démontre que ⃗ 1 1 2 2 2 2 2 2 u .⃗ v = (∥ ⃗ v .⃗ u (2) ⃗ u +⃗ v ∥ − ∥⃗ u ∥ −∥⃗ v ∥ ) = (∥ ⃗ v +⃗ u ∥ − ∥⃗ v ∥

quand tu tombes là-dessus, concentre toi bien et fais en sorte de ne pas bloquer la dessus. Cela vient avec l’entrainement. BONNE CHANCE, IL Y A UN PAQUET D’EXO A FAIRE + JE VEUX MON KEBAB SI T’AS PLUS DE 15 :D Chapitre 1 : Applications du produit scalaire et problèmes I- Equations de droites et de cercles – Cours Dans cette partie nous allons voir comment exprimer une droite ou un cercle dans un plan cartésien, c’est-à-dire avec des coordonnées x et y. L’équation d’une droite est de la forme

exercices) le chapitre 1 du livre de D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Addison-Wesley, 1999). Celui-ci vous aidera grandement dans la résolution des exercices. Exercice 0.1 (a) Montrez que le produit scalaire et le produit vectoriel sont distributifs. ? (b) Le produit vectoriel est-il associatif ? [(A × B) × C = A × (B × C)] Exercice 0.2 Déterminez l’angle entre les diagonales d’un cube. Exercice 0.3 (a) Démontrez la règle « BAC-CAB » : A × ( B × C ) = B ( A · C ) −

milieu du segment [CD]. Les segments [AI] et [BD] se coupent au point E . On note  une mesure en degrés de l'angle ̂ . IEB Première partie : sans utilisation d'un repère. Dans cette partie, on pose AB= 4 cm et AD = 3 cm. 1. Calculer le produit scalaire ⃗ ⃗ en décomposant chaque vecteur à l'aide de la relation de Chasles. AI⋅DB 2. Calculer les distances AI et DB. 3. En déduire cos() ; puis une valeur approchée à 1° près de l'angle ̂ . IEB Deuxième partie : avec un repère Dans cette

AB + AC = AD 3. Propriété : Dans un repère, si u (x ; y) et v (x’ ; y’) alors u v x x '; y Pour tous vecteurs u et v : u v v u et u 0 0 u y' . u. D. Produit d’un vecteur par un réel Dans la suite, on se place dans un repère (O; i , j ), 1. Définition et notation : Soit u et k un réel. On appelle produit du vecteur u (x ; y) par le réel k, le vecteur noté k u ayant comme coordonnées (kx ; ky). Remarque : Ce vecteur est indépendant du repère choisi. 2. Cas particuliers ;

Introduction Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les 4 forces fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . Scalaire, vecteur, système de coordonnées . . . . . Vecteur de position; produit scalaire et vectoriel. Champ scalaire, champ vectoriel . . . . . . . . . . . Équations de Maxwell Les équations de Maxwell (régime temporel) . . La divergence: un champ scalaire . . . . . . . . . . Le rotationnel: un champ vectoriel . . . . . . . . . Régime harmonique: amplitude complexe . . . . Avantages