Produit scalaire canonique

{τ }=  r  MP P UTBM_TN 18_Torseur_A12_diapo 5 2 - Torseur Considérons une base orthonormée directe ( x , y , z ) . r r r r Notons S = X x + Y y + Z z r r r et r r r r M P = LP x + M P y + N P z X, Y, Z, LP, MP et NP sont les coordonnées scalaires en P dans (x , y , z ) r r r du torseur {τ } on note :  X {τ }=  Y  Z P LP   MP N P  (xr , yr , zr ) UTBM_TN 18_Torseur_A12_diapo 6 2 - Torseur 2.3. Changement de centre de réduction Connaissant les éléments de réduction du torseur

coefficients de la matrice A. Exemple 2 Si √ 3 °2 A= 1 7 ! et √ ! 0 5 B= 2 °1 alors √ ! 3 3 A+B = . 3 6 3 Par contre si √ °2 B0 = 8 ! alors A + B0 n’est pas définie. Définition 4. Produit d’une matrice par un scalaire ° ¢ ° ¢ Le produit d’une matrice A = a i j de M n,p (K) par un scalaire Æ 2 K est la matrice Æa i j formée en multipliant chaque coefficient de A par Æ. Elle est notée Æ · A (ou simplement Æ A). Exemple 3 Si √ ! 1 2 3 A= 0 1 0 et Æ=2 alors √ ! 2 4 6 ÆA = . 0 2

AD . 4 4 D’où G = J. www.annabac.com © H A T I E R 2009 • Soit M un point du plan. On a d’une part MA – MC = CA . D’autre part, 2MA + MB + MD = 4MJ car J est le barycentre du système { ( A ; 2 ) ; ( B ; 1 ) ; ( D ; 1 ) } . Attention, le produit scalaire de deux vecL’égalité (1) teurs est un nombre ( 2MA + MB + MD ) . ( MA – MC ) = 0 (1) réel et pas un vecteur. est donc équivalente à 4MJ . CA = 0 . Par conséquent, l’ensemble des points M vérifiant l’égalité (1) est la droite perpendiculaire à

Produit scalaire 1. Projection orthogonale d’un vecteur sur un vecteur. Dans tout ce chapitre, on travaille dans un plan vectoriel. [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul Quelque soit le vecteur [pic], il existe un unique vecteur [pic] tel que : [pic] Définition : Le vecteur [pic] est appelé projection orthogonale de [pic] sur [pic] et noté [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul alors pour tout vecteur [pic] et [pic] et pour tout réel [pic]

vecteurs On note v et w deux vecteurs. – u:[a,b,c] : Définit les coordonnées du vecteur u. – u+v : Renvoie les coordonnées de u + v – u . v : Renvoie le produit scalaire de u et de v ( le point est précédé et suivi d'un espace ) Le package load(vect) permet de calculer le produit vectoriel de deux vecteurs. – express(u~v) : Renvoie le produit vectoriel de u et v. Gestion des listes – first[a,b,c,d] : Renvoie le premier terme de la liste, donc a. – second[a,b,c,d] : Renvoie le deuxième terme

tout d'abord le produit d'un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y : Ce produit est appelé produit scalaire des vecteurs x et y, noté x · y. Les vecteurs doivent avoir la même dimension. Le produit matriciel s'en déduit : le produit de la matrice A (n × m) par la matrice B (m × p) est la matrice C (n × p) telle que l'élément Cij est égal au produit scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B. Exemple : On a en effet, en effectuant les produits ligne par colonne

02 – vecteur directeur d’une droite : 1. Définition : Une droite (D) est donnée et A et B sont deux point distincts de (D). Le vecteur u = AB est un vecteur directeur de la droite (D). Remarque : Un vecteur directeur n’est jamais nul Autrement dit, le vecteur nul n’est le vecteur directeur d’aucune droite. 2. Propriété : (D) et (D’) sont deux droites, u est un vecteur directeur de la droite (D) et u’ est une vecteur directeur de la droite (D’). Alors : (D) et (D’) sont parallèles

g´n´ratrice de R3 . e e 3. Extraire de cette famille une base B de R3 , en justifiant votre r´ponse. e 4. Soit v = (−2, 2, 1) un vecteur de R3 , calculer ses coordonn´es dans la base B e 1 Exercice 2 (9 points) On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et w1 , w2 et w3 les vecteurs suivants : w1 = (3, −1, 2), w2 = (−1, 3, 2) et w3 = (1, 1, 2).   f (e1 ) = w1 Soit f l’application lin´aire de R3 dans lui mˆme d´finie par : f (e2 ) = w2 e e e  f (e3 ) = w3 1. (a) Soit v ∈ R3 , v = (x, y, z)

Mathématiques pour la biomécanique Rappel sur la notation des vecteurs La différence entre un scalaire et un vecteur est le fait que pour un vecteur, on a besoin de plusieurs spécificités. Une masse est un scalaire, une vitesse un vecteur. Définition Si on considère, dans l’espace (ensemble de points), un couple de points (A ; B) sachant que A est l’origine et B l’extrémité. Par AB passe une droite δ appelée support des points (A ; B). La longueur (A ; B) est la norme. (A ; B) est opposé

admet une Vz tg au point (xy,f(x0)) de vecteur directeur u OJ f est dérivable en xo et f '(x0) = 0 Cf admet une Vi tg verticale au point (x0,f(x())). Cf admet une '/2 tg horizontale à droite (à gauche) du point (x0,f(x0)), _.-— Année Scalaire : : 3