Produit scalaire canonique

Chap 7 Courbes param´tr´es e e 1 Pr´liminaire : Fonctions ` valeurs vectorielles e a E2  R2 est muni du produit scalaire et de la norme usuels. D´finition. Soit I un intervalle de R. Soit f : I Ñ R2 e . On dit que f a pour limite t ÞÑ pxptq, y ptqq en a si et seulement si : }f ptq ¡ } ÝÝÑ 0 t  p 1, 2q Ña 1 2 Propri´t´. f tend vers e e en a si et seulement si : 6 8x t Rappel. On dit qu’une fonction est de classe C1 lorsqu’elle est d´rivable et que sa d´riv´e est continue

pour chaque ∃ : existe au moins un ∃! : existe un seul ∈ : appartient / ou ':' : tel que α, β, k, v, u etc. : scalaires u, v, w etc. : vecteurs A, B, L etc. : tenseurs du deuxième ordre E : espace euclidien V : espace vectoriel des translations Lin : espace vectoriel des tenseurs du deuxième ordre · : produit scalaire ∧ : produit vectoriel ⊗ : produit dyadique |k| : valeur absolue d’un scalaire |v| : norme d’un vecteur |L| : norme d’un tenseur & & & p, v, L : dérivation par rapport au temps ∇ : gradient

http://maths-sciences.fr Bac Pro indus CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE I) Vecteurs dans le plan L’utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques. 1) Définir un vecteur - sa direction : la direction du vecteur u est la droite (AB). - son sens : le sens du vecteur u est de A vers B. - sa norme : la norme du vecteur u notée : u est la mesure de la longueur du segment [AB] 2) Réaliser la somme ou la différence de deux vecteurs Réaliser une construction

repr´sente alors dans les bases e et {1} e e e par : f : E−→ R   x1 3 3 x−→ f(x)=f( i=1 xi ei )= i=1 xi f (ei )= x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + x3 f (e3 )= x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = (a1 , a2 , a3 ) x2  x1 (2) (*) Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire , et x0 ∈ E. Montrer que l’application u : x ∈ E → x0 , x0 x, x0 est une forme lin´aire sur E. D´terminer son noyau. Et l’application e e x ∈ E → x − x0 , x0 ? e D´monstration. Montrons que l’application u(x) = x0 , x0 x, x0 , est une application

(x )  x Sur ℝ ou C : N (x )  x Prop :  x, y  E 2 , N x  N y  N x  y         Prop : Si x , x x , y est un produit scalaire sur E , on définit la norme associée par x Ex : Soit E  ℝ2 , et pour tout x  a , b , N x  a 2  2ab  5b2 , montrer que N définit     une norme sur E

c'est la somme du premier et de l'opposé du second. différence vecteur Produit ou quotient d'un vecteur par un nombre Le produit ou le quotient d'un vecteur par un nombre est un vecteur de même direction et de longueur multipliée ou divisée par ce nombre. Si le nombre est négatif on change le sens du vecteur. multiplication vecteurs Le produit deux vecteurs entre eux existe ausssi: c'est le produit scalaire que nous verrons en première. Par contre il n'est généralement pas possible de

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Sur quelques questions de calcul différentiel Notations et conventions Pour tout entier n > 0, on note . , . le produit scalaire euclidien usuel et || . || la norme associée sur Rn , Sn−1 la sphère de rayon 1 dans Rn , Mn (R) l’espace des matrices réelles à n lignes et n colonnes, In la matrice identité dans Mn (R), GLn (R) le sous-ensemble de Mn (R) des matrices inversibles

équation cartésienne de (BC) Donc (BC) a pour équation réduite y=−x+5 Les coordonnées de F sont solutions du système {y=x+3 y=−x+5 ⇔{x=1 y=4 Donc F a pou coordonnées (1 ; 4) Exercice 3 Plusieurs méthodes sont possibles pour montrer que le produit scalaire ⃗PD . ⃗AQ est nul Dans tous les cas il faudra mettre en évidence les égalités de longueurs suivantes : Comme P et Q sont les projetés orthogonaux de M sur deux droites perpendiculaires en B , BPMQ est un rectangle et donc MQ=PB et PM=BQ Comme

Définition d'un vecteur : Si l’on a choisi une unité de longueur dans le plan, un vecteur est caractérisé par : sa direction son sens sa norme Exemple : La direction deest la droite (AB). Le sens deest de A vers B. La norme deest la longueur AB. Egalité de vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction

Orthogonalité Niveau : Tle S Prérequis : - géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace : colinéarité, définition de droite et de plan au moyen de vecteurs directeurs, définition du produit scalaire, égalité de Pythagore (Pour l'ensemble de la leçon on se place dans un repère orthonormé. Cela est nécessaire pour les équations cartésiennes, pour le reste il suffit d'admettre l’existence d'une base) Remarque préliminaire : Il y a deux manières d'aborder la leçon : – On part de la définition