Produit scalaire canonique

prenant une subdivision de pas h est majorée par : . Programmation Matlab : III) Méthode de Gauss-Legendre : Principe : On utilise aussi en analyse numérique une méthode basée sur l'orthogonalité des polynômes de Legendre. pour le produit scalaire Elle est appelée méthode de Gauss-Legendre, et permet de calculer avec une grande précision les intégrales de fonctions suffisamment régulières sur un segment Il suffit de réaliser une application affine de sur , et de remarquer que

N il existe un entier premier p tel que n = 37p + 1. 1. Quel est le plus petit élément de E ? 2. Existe-t-il un élément n, de E, vérifiant 26800 < n < 27800 ? 4 points → → − − Soit E un plan vectoriel euclidien rapporté à une base a , b . (Le produit scalaire → → − − → → − − des vecteurs x et y de E est noté x · y ). Soit ϕ l’application de R dans E, telle que ∀x ∈ R, et ϕ sa dérivée. 1. Montrer que ∀α ∈ R, ϕ(α) et ϕ (α) constituent une base de E. 2. Pour tout réel t , décomposer ϕ(t ) dans une telle

Construction Mécanique MECANIQUE APPLIQUEE L.P. AULNOYE EXERCICE CINEMATIQUE TRAJECTOIRES Page 1 Exercice : ESSUIE-GLACE 1. Présentation: Soit le système d'essuie-glace d'autobus représenté ci-dessous à échelle réduite. A, B, C, D sont des axes d'articulation, AB = CD = 51mm, AD = BC = 600mm. L’essuie-glace se déplaçant vers la gauche. 2. Questions sur les mouvements et trajectoires (Faire les tracés sur la figure 1) a. Tracer et repérer la trajectoire du point A de la biellette

et (B, β) est le milieu du segment [AB]. On choisit souvent α = β = 1. On a alors + = . On obtient pour tout point M la forme vectorielle du « théorème de la médiane » dans le triangle ABM : + = 2 . En géométrie analytique ou avec le produit scalaire, on peut en vérifier les formes numériques : MA2 + MB2 = 2MI2 + et MA2 - MB2 = 2 . ou = 2 AB×IH où H est la projection du point M sur la droite (AB). Coefficients opposés : si α + β = 0 alors α + β = α ( - ) = α est un vecteur constant

Conjugué Inverse : z  x  iy   ei ; z  x  iy   ei ; z  z   z  z  ; zz   z  z  2 y 1 z z x 1   2  2 i 2  e i 2 z zz x y x  y2  z x 1 1 z z ; y  z z ; 2 2i zz  x 2  y 2  z Module et argument d’un produit, d’un quotient z  z     ei     ei     ei    zz   z  z  ; arg( z. z ')  arg( z)  arg( z ')[2 ] z  ei    ei   i  z   e  z z z  ; arg( )  arg( z)  arg( z ')[2 ] z z z' z n    ei

graphiquee e e ment, elle repr´sente la longueur entre les deux extr´mit´s de celui-ci. e e e → − Une grandeur nomm´e A est repr´sent´e par un vecteur symbolis´ par la grandeur surmont´e d’une fl`che : A . e e e e e e → − → − Le module de ce vecteur est un scalaire positif et son symbole est A , A ou A. w w w .M 1.2.1 D´finition e at 1.2 NOTION DE VECTEUR h Extrémité Sens Axe de référence M u le od θ Origine Direction ou support Figure 1.1 Représentation géométrique d'un vecteur

déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x − y + 2z + 2 = 0. 3. Soient P 1 , et P 2 les plans d’équations respectives x + y − 3z + 3 = 0 et x − 2y + 6z = 0. (a) Calculer le produit scalaire AB · AC puis les longueurs AB et AC. #» #» #» #» #» 4. Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection. 5. Soit S la sphère de centre Ω(1 ; −3 ; 1) et de rayon r = 3

CHAPITRE 9 Produit scalaire ACTIVITÉ (page 215) donc δ = 2AB × BH = 2AB × BC × cos θ. Activité 1 S = AC2 – AB2 – BC2 = CH2 + AH2 – AB2 – (CH2 – BH2) = AH2 – AB2 – BH2. 2 • Figure 1 : AH2 = AB2 + BH2 + 2AB × BH ; • Figure 2 : δ = (AB – BH)2 – AB2 – BH2 = – 2AB × BH. Or, dans le triangle rectangle CHB, BH = BC cos (π – θ) = – B cos θ. Donc : δ = 2AB × BC × cos θ. • Figure 3 : même démonstration. PROBLÈME OUVERT Considérons le repère orthonormé ΂ A ; ai, aj ΃, dans lequel

Produit Scalaire I. Définition du produit scalaire On connaît le célèbre théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. A l'aide de la figure ci-contre, on a : Que ce passe-t-il si le triangle est quelconque ? Qu'est le nombre ? A-t-il une signification géométrique ? vectorielle ? analytique ? Le produit scalaire va apporter une réponse. Soit ABC un triangle. Soit H le projeté orthogonal

PRODUIT SCALAIRE ® ® Exercice de motivation : ABC est un triangle tel que AB = 4, AC = 3 et ( AB , AC ) = 4 A 70° 70°. Problème : calculer BC. 3 On ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore car le triangle n'est pas rectangle. On verra, à la fin de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en C généralisant le théorème de Pythagore à tout triangle. I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 ® ® On se