Produit scalaire canonique

cosα uu r i x 1 Vecteurs Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales deux à deux. r ON NE PEUT JAMAIS ECRIRE V = x , un vecteur =un scalaire Produit scalaire r r V1 ⋅ V2 est un scalaire (= un nombre réel) r r r r r r V1 ⋅ V2 =|| V1 || || V1 || cos (V1 ,V2 ) … Produit vectoriel r r V1 × V2 est un vecteur définition r r r r r r || V1 × V2 ||=|| V1 || || V1 || sin (V1 ,V2 ) r r r r r r (V1 × V2 )⊥V1 et (V1 × V2 )⊥V2 r r r r (V1 ,V2 ,V1 × V2 )

PRODUIT SCALAIRE ® ® Exercice de motivation : ABC est un triangle tel que AB = 4, AC = 3 et ( AB , AC ) = 70°. Problème : calculer BC. On ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore car le triangle n'est pas rectangle. On verra, à la fin de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en généralisant le théorème de Pythagore à tout triangle. I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 On se place dans une base orthonormée du plan. Soient

euclidien orienté E, de dimension 3, associé à l’espace vectoriel E , est rapporté au repère orthonormé → → direct → ( O, i , j , k ), → → → → d’axes Ox, → Oy, → Oz. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est noté ( u v ) et leur produit vectoriel u ∧ v . On considère dans E l’hélice circulaire (H) d’équations paramétriques : x = R cos t y = R sin t z = ht L’objet de ce problème est d’étudier les projections orthogonales et coniques

Or Y = SY et X = SX donc SY = ASX = AS X soit Y = S −1 AS X puisque S est inversible. Il en r´sulte que ∆X = 0 avec ∆ = B − S −1 AS et cela pour tout vecteur x donc pour toute colonne e X . En prenant X successivement ´gal aux vecteurs de la base canonique de C n , il vient que toutes les colonnes e de ∆ sont nulles donc que ∆ est nulle. Ainsi B = S −1 AS . I.3. Exemples. a. Si X est vecteur co-propre (non nul) associ´ a la valeur co-propre µ il vient e` b = −|µ|2b b = −µa . donc a = µb a = µb Or X

l’autre) Tracer un représentant de la somme de ces trois vecteurs . x 4) Multiplication par un réel : Définition : Soient [pic] un vecteur ; A et B deux points du plan tels que [pic]= [pic] ;et k un nombre réel quelconque. Le produit du vecteur [pic] par le nombre k est noté k[pic] et est tel que : a) Si k>0 alors [pic] et k[pic] sont des vecteurs de même direction et sens et k[pic] a pour longueur kAB. b)Si k

chapitre 13 Applications du produit scalaire Travaux dirigés TD 1 1. AM ( x – x 0 ; y – y 0 ) AM et u colinéaires donc ( x – x 0 ) – ( y – y 0 ) = 0 ou x – y – x 0 + y 0 = 0 . On obtient une équation de la forme ax + by + c = 0 avec a = , b = – et c = y 0 – x 0 . Il en résulte qu’une droite d a une équation de la forme ax + by + c = 0 et comme = – b et = a le vecteur u ( – b ; a ) est un vecteur directeur. 2. a) Les coordonnées de A vérifient ax + by + c = 0 donc A ∈ E . c b) AM  x ; y + --

e e e e = 1, m = 1, = 1. Le moment cin´tique e 2 Rappel : Un op´rateur vectoriel est d´fini par ses composantes qui sont des op´rateurs au sens ordinaire. e e e Elles ob´issent aux r`gles d’alg`bre vectorielle habituelle (somme, produit scalaire, produit vectoriel) e e e moyennant quelques pr´cautions concernant l’ordre des op´rateurs. e e En utilisant les r`gles de commutation e [x, px ] = [y, py ] = [z, pz ] = i [x, px ]f (x) = −i x (5) df d(xf ) − = if (x), (6) dx dx on montre que les

du tétraèdre). (Médiane du tétraèdre : droite passant par un sommet et le centre de gravité de la face opposée.) 1 2. Produit scalaire du plan et conséquences. 2.1. Rappel sur le produit scalaire dans le plan. ! " ! !" " ! ! " ! " ! " Définition propriété : u et v sont deux vecteurs de P . v ' est le projeté orthogonal de v sur u . ! " ! " On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le nombre réel égal. ! " !" ! ! " !" ! # u ! v ' si u et v ' sont de même sens % ! " !" ! ! " !" ! 1. $

de dimension deux et que D est surjective. Dans toute la suite du probl`me, on suppose que la e fonction q est positive ou nulle sur [a, b] Deuxi`me Partie e On se propose de d´montrer que P admet une et une seule solution. e On munit E du produit scalaire , tel que pour tout (y, z) ∈ E × E, b y, z = a y(x)z(x) dx et on d´finit l’endomorphisme L de E tel que, pour tout y ∈ E, e L(y) = q exp (P )y − (y exp (P )) = − exp (P )D(y) (on ne demande pas de justifier la derni`re ´galit´) e e e

...... 16 Barycentre......................................................................................................... 19 Produit scalaire ................................................................................................. 23 Produit vectoriel................................................................................................ 24 Produit mixte .................................................................................................... 25 Module “Modélisation