Produit scalaire canonique

Classe de 1 S 3 Produit scalaire dans le plan. page 1 sur 3 Le plan est rapporté à un repère orthonormal  O , I , J  y  y ' u v 1. Définition: Soit  x et  x ' deux vecteurs du plan. u v u v Par définition on appelle produit scalaire des vecteurs  et  , on le note ⋅ , le nombre réel: u v ⋅ =x x '  y y ' u v Si  = et  = alors le produit scalaire ⋅ correspond au calcul u OM v ON 1  OM 2  ON 2 − MN 2  . 2 C'est donc un calcul algébrique d'aires.

Nationale Supérieure des Techniques Avancées (ENSTA) 1. 2. 3. 3.1 3.2 3.3 Définition et propriétés des quaternions .......................................... Représentation d’une rotation par un quaternion.......................... Application aux produits de rotations............................................... Première méthode ....................................................................................... Deuxième méthode ...............................................................

⋅ Ha2 + b2 iL = Ia1 a2 + b1 b2 i2 M + Ha1 b2 i + b1 a2 iL = Ha1 a2 − b1 b2 L + Ha1 b2 + b1 a2 L i La multiplication des nombres complexes est définie comme suit * la partie réelle du produit est égale au produit des parties réelles moins le produit des parties imaginaires; * la partie imaginaire du produit est égale à la partie réelle du premier multipliée par la partie imaginaire du deuxième plus la partie imaginaire du premier multipliée par la partie réelle du deuxième Pour z1 = a1 +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 7 8 8 9 3 Produit d’un vecteur par un r´el e 3.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 4

(et donc un code) par une base. Soit C un code lin´eaire. Une matrice g´en´eratrice de C est une matrice dont les lignes forment une base de C. Une matrice g´en´eratrice G est donc de taille k×n et de rang k. Si m est un vecteur ligne de Fk2 , le produit mG est un mot du code C et l’application m → mG est un isomorphisme de Fk2 sur C (que l’on peut voir comme une op´eration de codage). Si la matrice G est de la forme (I, P ), on dit que le codage est syst´ematique. Les k premiers bits d’un mot de

Contrôle n°5 – Vecteurs Exercice 1 (4 points) 1. Compléter : 2. Placer le point H tel que . 3. Placer le point I tel que 4. Placer le point J tel que Exercice 2 ( 4 points) Soit (O ;  ; ) un repère du plan. On considère les points A( 6 ; 7) , B(5 ; - 2) ; C(4 ; - 1) et D(0 ; 1). 1. Déterminer les coordonées des vecteurs et 2. Déterminer les coordonnées du vecteur . 3. Déterminer les coordonnées du vecteur . 4. Trouver les coordonnées du point M tel que Exercice

Z 2 ez V = ( X 1 + X 2 )ex + (Y1 + Y2 )e y + ( Z 1 + Z 2 )ez 1.2.2 Produit scalaire S = V1 · V2 V2 S est un scalaire α Par définition S = V1 V2 cos α V1 où l’angle α est défini par α = (V1 ,V2 ). • Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul. • Pour les vecteurs unitaires ex , e y , ez on a : e x · e y = e y · ez = ez · e x = 0 e x · e x = e y · e y = ez · ez = 1 Expression cartésienne du produit scalaire S = (X 1 ex +Y1 e y + Z 1 ez ) · (X 2 ex +Y2 e y + Z 2 ez ) = X 1 X

11 CHAPITRE Produit scalaire dans l’espace ACTIVITÉS (page 320) Activité 1 Activité 2 1 a) D, F, O et B sont des points du rectangle BDHF. Ils sont donc coplanaires. O H F 1 1 a) UAH = UBG ; donc l’angle géométrique de UAF et UBG est celui de UAF et UAH. b) Le triangle AFH est équilatéral ; donc, l’angle géomép trique vaut . 3 2 a) A(1 ; 0 ; 0), F(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 1 ; 0) et G(0 ; 1 ; 1). Les vecteurs UAF et UBG ont pour coordonnées : B ͱස2 b) • UBO · IDF = UBO · 1 UDH + UHF 2 = UBO · IDH

le rayon du cercle C, intersection de la sphère S et du plan P. 9 Maths Term S Le sujet Pas à pas ➤ Mobiliser ses connaissances Thèmes du programme Produit scalaire dans l’espace, représentation paramétrique d’une droite, définition d’une sphère, équation cartésienne d’un plan, théorème de Pythagore. Produit scalaire : • Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le nombre réel noté u · v défini par : u · v = 12 u + v 2 − u 2 − v 2 u · v = u × v cos α ou, si α est une mesure de l’angle

sont naturellement liées: F j / i = DI−1 K et Fi / j = KDJ−1 Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dans Rp pour la métrique du chi-deux est donné par le produit matriciel: u’. DJ−1 .v , à un facteur multiplicatif près, par suite l’inertie dans la direction du vecteur DJ−1 unitaire u du nuage des profils en ligne, pour la métrique précédente avec pour pondérations les totaux en ligne, est donnée, au même facteur près, par le produit matriciel: u ' DJ−1 Fj / i ' DI F j / i D −j 1u = u ' DJ−1 K '