Produit scalaire

Construction Mécanique MECANIQUE APPLIQUEE L.P. AULNOYE EXERCICE CINEMATIQUE TRAJECTOIRES Page 1 Exercice : ESSUIE-GLACE 1. Présentation: Soit le système d'essuie-glace d'autobus représenté ci-dessous à échelle réduite. A, B, C, D sont des axes d'articulation, AB = CD = 51mm, AD = BC = 600mm. L’essuie-glace se déplaçant vers la gauche. 2. Questions sur les mouvements et trajectoires (Faire les tracés sur la figure 1) a. Tracer et repérer la trajectoire du point A de la biellette

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 7 8 8 9 3 Produit d’un vecteur par un r´el e 3.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 4

Contrôle n°5 – Vecteurs Exercice 1 (4 points) 1. Compléter : 2. Placer le point H tel que . 3. Placer le point I tel que 4. Placer le point J tel que Exercice 2 ( 4 points) Soit (O ;  ; ) un repère du plan. On considère les points A( 6 ; 7) , B(5 ; - 2) ; C(4 ; - 1) et D(0 ; 1). 1. Déterminer les coordonées des vecteurs et 2. Déterminer les coordonnées du vecteur . 3. Déterminer les coordonnées du vecteur . 4. Trouver les coordonnées du point M tel que Exercice

Exercice 2 1. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ =

repr´sente alors dans les bases e et {1} e e e par : f : E−→ R   x1 3 3 x−→ f(x)=f( i=1 xi ei )= i=1 xi f (ei )= x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + x3 f (e3 )= x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = (a1 , a2 , a3 ) x2  x1 (2) (*) Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire , et x0 ∈ E. Montrer que l’application u : x ∈ E → x0 , x0 x, x0 est une forme lin´aire sur E. D´terminer son noyau. Et l’application e e x ∈ E → x − x0 , x0 ? e D´monstration. Montrons que l’application u(x) = x0 , x0 x, x0 , est une application

Mathématiques pour la biomécanique Rappel sur la notation des vecteurs La différence entre un scalaire et un vecteur est le fait que pour un vecteur, on a besoin de plusieurs spécificités. Une masse est un scalaire, une vitesse un vecteur. Définition Si on considère, dans l’espace (ensemble de points), un couple de points (A ; B) sachant que A est l’origine et B l’extrémité. Par AB passe une droite δ appelée support des points (A ; B). La longueur (A ; B) est la norme. (A ; B) est opposé

utilisant le produit scalaire ,vérifier que le vecteur AB est perpendiculaire au vecteur AC. - Trouver les coordonnées du point D, tels que les points A, B , C et D forment un rectangle. Exercice n°8 : On considère le triangle ABC de la figure ci-contre. On donne : AB = c ; AC = b ; BC =a a) Montrer en utilisant le produit scalaire que A b b2 = a2 + c2 – 2 a c cos β α que devient cette relation pour β = π /2 C b) Montrer que AC AB = BA BC = CB CA γ b) En calculant les modules de ces produits vectoriels

18/02/2013 TD 16 : Espace euclidien Rn M P SI:2012−2013 Exercice 1 On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées

= I3 et U est bien orthogonale. Il reste ` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux

taille p d´finie positive et (ei ; ej ) est le transpos´ du u e e e vecteur (ei ; ej ). L’espace des individus est donc muni du produit scalaire : ei, ej = ei M ej . Le choix de M d´pend de l’utilisateur. En pratique les m´triques usuelles en ACP sont en e e nombre r´duit : ` part la m´trique M = I (Matrice identit´ de rang p ) ce qui revient ` utiliser e a e e a le produit scalaire usuel, la m´trique la plus utilis´e ( et qui est souvent l’option par d´faut des e e e logiciels d’ACP ) est la m´trique diagonale