Produit scalaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 10 12 13 16 17 2 Eléments du calcul matriciel 2.1 Quelques définitions et opérations . . . . . . . . . . . . 2.2 Le produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Règles du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ecriture matricielle des systèmes d’équations linéaires 2.5 L’inversion des

avril Problème 1: [Un exemple de structure euclidienne]1 On considère l’espace vectoriel E = Rn [X]. Pour P, Q ∈ E on pose : n P |Q = i=0 P (i)Q(i). Partie I 1. Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E. On notera P euclidienne du polynôme P associée au produit scalaire précédent. 2 la norme 2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , ..., Ln ) de E telle que Li (j) = δi,j pour tout (i, j) ∈ {0, 1, ..., n}2 . Vérifier que la famille B = (L0 , ..., Ln ) est une

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 10 12 13 16 17 2 Eléments du calcul matriciel 2.1 Quelques définitions et opérations . . . . . . . . . . . . 2.2 Le produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Règles du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ecriture matricielle des systèmes d’équations linéaires 2.5 L’inversion des

Chapitre 8 Géométrie élémentaire de l’espace Objectifs • Rappeler les différents modes de repérage dans l’espace • Rappeler les notions de produit vectoriel, de produit scalaire et de produit mixte ainsi que leurs applications. • Étudier les droites, les plans et les sphères de l’espace. Sommaire I) Les modes de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Repère orthonormal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 10 12 13 16 17 2 Eléments du calcul matriciel 2.1 Quelques définitions et opérations . . . . . . . . . . . . 2.2 Le produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Règles du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ecriture matricielle des systèmes d’équations linéaires 2.5 L’inversion

{τ }=  r  MP P UTBM_TN 18_Torseur_A12_diapo 5 2 - Torseur Considérons une base orthonormée directe ( x , y , z ) . r r r r Notons S = X x + Y y + Z z r r r et r r r r M P = LP x + M P y + N P z X, Y, Z, LP, MP et NP sont les coordonnées scalaires en P dans (x , y , z ) r r r du torseur {τ } on note :  X {τ }=  Y  Z P LP   MP N P  (xr , yr , zr ) UTBM_TN 18_Torseur_A12_diapo 6 2 - Torseur 2.3. Changement de centre de réduction Connaissant les éléments de réduction du torseur

coefficients de In sont les (ai , j ) = ai , j = 1 si i = j ai , j = 0 si i ≠ j Donc, ( ai , j ) = δ i , j • Matrice scalaire : A est une matrice scalaire si A est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont tous égaux. α A= 0 α = α In 0 In et 0(n,n) sont scalaires. Les matrices scalaires sont les matrices de la forme In pour tout scalaire. • Matrice triangulaire : A est triangulaire supérieure si A ∈ Mn(K) avec des coefficients nuls sous la diagonale. ∀(i

Chapitre I I ´   I.. Calcul vectoriel I..1. Produit vectoriel Plaçons-nous dans un espace vectoriel euclidien à trois dimensions. En faisant subir des rotations identiques aux trois vecteurs d’une base orthonormée (ux , u y , uz ), on se retrouve toujours dans un des deux cas suivants : Le choix d’une base directe permet de déterminer (cf. figure) le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) dans lequel est compté positivement l’angle entre deux

de http://www.ilemaths.net 3 Coordonn´ ees d’un vecteur AB Si AÔxA ; yA Õ et B ÔxB ; yB Õ alors on montre que AB ÔxB ¡ xA ; yB ¡ yA Õ. Coordonn´ ees de la somme de deux vecteurs Si uÔx; y Õ et v Ôx½ ; y ½ Õ alors u   v Ôx   x½ ; y   y ½ Õ Produit d’un vecteur par un nombre r´ eel λ Pour le vecteur u de coordonn´ees (a ;b) dans un rep`ere, le vecteur λu est le vecteur de coordonn´ees Ôλa; λbÕ dans le mˆeme rep`ere. Exemple : sur cet exemple, v ¡ 12 u avec uÔ2; 3Õ IV. Colin´earit´e de vecteurs

tout d'abord le produit d'un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y : Ce produit est appelé produit scalaire des vecteurs x et y, noté x · y. Les vecteurs doivent avoir la même dimension. Le produit matriciel s'en déduit : le produit de la matrice A (n × m) par la matrice B (m × p) est la matrice C (n × p) telle que l'élément Cij est égal au produit scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B. Exemple : On a en effet, en effectuant les produits ligne par colonne