Produit scalaire

simple et utile de travailler avec les matrices diagonales pour e plusieurs raisons: Elles sont triangulaires inf´rieures et sup´rieures ` la fois. e e a Leurs valeurs propres sont les entr´es de la diagonale. e Leur d´terminant est simplement le produit des entr´es de la diagonale. e e Il est simple de d´terminer si elles sont inversibles et de trouver leurs e inverses. Il est simple de multiplier des matrices diagonales (il faut juste multiplier les entr´es correspondantes sur la diagonale). e

j  n Produit d’une matrice par un scalaire Soient A  aij 1 i  m et   K, alors A  aij 1 i  m 1 j  n 1 j  n Produits de matrices Soient A et B deux matrices de même type telles que : A  aij 1 i  m et 1 j  n B  bij 1i n 1 j  p Alors la matrice AB est une matrice de type (m,p) telle que AB = cij 1 i  m 1 j  p cij   aik bkj k 1 n Pour obtenir le coefficient de la ième ligne et de la jème colonne de la matrice produit, on multiplie

GLn (C) sont les matrices de rang n et ici n 2) ; il vérifie P2 et P3 car I ∈ GLn (C). Il ne vérifie pas P4 , i.e. GLn (C) n’est pas un sous-espace vectoriel de E (car la matrice nulle 0E n’appartient pas à GLn (C)). Enfin il vérifie P5 : le produit de deux matrices inversibles est une matrice inversible. En résumé, GLn (C) vérifie P2 , P3 , P5 (et P6 ) et pas les autres propriétés de la liste. I.B.1) Soit T ∈ L une matrice triangulaire inférieure. Sa dernière colonne contient au plus un

nombres π e et e eπ . 3. Montrer que 1 − x ≤ e−x ≤ 1 − x + lorsque 0 < x < 1. x e 4 2 L’ESPACE EUCLIDIEN Un point x de l’espace euclidien ` n dimensions Rn est un n-tuplet : a x = (x1 , x2 , . . . , xn ). L’addition et la multiplication scalaire y sont d´finies par e x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) et λ x = (λ x1 , λ x2 , . . . , λ xn ) respectivement. On peut donc ´crire e n x= j=1 xj ej (n) si ej (n) = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0) e (le 1 occupant la

passe une seule solution de (1.1) définie sur I. Preuve. Voir Chapitre 2. Ce résultat implique que 1. S0 = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t)} est un espace vectoriel de dimension n. Preuve. S0 , muni des opérations somme de deux solutions et produit d’un scalaire λ ∈ K et d’une solution est un espace vectoriel. S0 a dimension n, car si on fixe t0 ∈ I, alors Φt0 : S0 Y → → Kn Y (t0 ) est un isomorphisme linéaire, grâce au théorème 1.1.2. 2. S = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t) + B(t)} = S0 + Y1 ,

et vice versa. Voici e quelques exemples:     1 1 3 1 2 4  2 5  b =  3  b = [ 1 3 5 ]. A= A = 3 5 5 5 4 5 772 ` Algebre Matricielle L’addition et la soustraction des matrices fonctionnent exactement de la mˆme fa¸on que pour les scalaires, ` condition que les matrices puissent ˆtre e c a e additionn´es ou soustraites seulement si elles sont conformes. Dans le cas de e l’addition et de la soustraction, ceci signifie simplement qu’elles doivent avoir les mˆmes dimensions. Si A et B sont

O-(E) ⇒u°v ЄO+(E) Plus généralement la regle des signes fonctionne Remarque : le choix d’une bon établit une bijection entre les ensemble de la colonne de gauche et ceux de la colonne de droite Opération et produit vectoriel dans Rn E=Rn produit scalaire usuel e bon canonique Rappel : il existe une unique application n-linéaire En →R Det (e1,e2,…,en)=1 Det (x1,x2,…,xn)=0 ⇔ la famille { x1,x2,…,xn} est liée Pour A=(aij)ЄMn(R) x1=[pic] x2=[pic] … xn=[pic]

Document créé le 8 février 2014 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 19 Espaces préhilbertiens réels Sommaire 19.1 Produit scalaire, norme et distance . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Produit scalaire sur un R espace vectoriel . . . . . . . . 19.1.2 Norme et distance associée . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 Rappel sur le calcul vectoriel II/ RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL $ $ $ $ !$ $ $ 1/ GRANDEUR SCALAIRE( $ $%&$ ) Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité correspondante. Exemple : le volume, la masse, la température, la charge électrique, l’énergie… ) 2/ GRANDEUR VECTORIELLE( On appelle grandeur vectorielle toute grandeur qui nécessite un sens, une direction, un point d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité

Vecteurs et torseurs I. Rappels de quelques notions fondamentales. 1. Grandeurs physiques. Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité. Exemple : La température s’exprime en degré Kelvin (K). Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ avec norme de ⃗ , ‖ ⃗ ‖ et AB distance entre les points A et B. 2. Unités. Le système international est basé sur les 7 grandeurs