Produit vectoriel

sur les espaces vectoriels et le calcul matriciel ainsi qu’en termes de résolution de systèmes linéaires. Calcul dans Թ Notions élémentaires sur les ensembles Pré-reqcuis recommandé Mode d’évaluation Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Cours magistraux (25h) Travaux dirigés (15h) Support du cours Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés Contenu du cours Chapitre 1 : espaces vectoriels réels I- LCI et LCE II- Structure d’espace vectoriel réel III- Sous

Courbes représentatives de fonctions I) Définitions. Soit une fonction définie sur un intervalle , à valeurs dans . 1) Graphe de la fonction . a) Définition. Le graphe de la fonction est l’ensemble des couples de réels qui s’écrivent , , où est un élément de l’intervalle . Exemple. Si est définie par , alors les couples ; , ;  et ; sont des éléments du graphe de . En revanche, ; n’est pas un élément du graphe de . b) Tableau de valeurs. Un exercice simple et utile pour s’aider à tracer la courbe

 I. Sous espace vectoriel stable – Polynôme d’endomorphisme 1. Sous espace vectoriel stable (SEV) Définition : sous espace vectoriel de . On dit que est stable par si . Conséquence : Si et stable par . On définit l’induit de sur  : Exemples fondamentaux et sont stables par  : , , , alors stable par , Montrons que  : Donc , et base de  : stable par car : Proposition : Soit un SEV de E. Si et . Soit base de . Soit base de (TBI). Alors s’appelle une base de

deux vecteurs − → −→ Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme. B A D C 2 Relation de Chasles − → − → − → Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC. Applications : • Simplifier des expressions vectorielles : − → − → − → − → − → Quand on remplace AB + BC par AC, on simplifie l’expression AB + BC. Exemple de simplification : → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − AC + 2CB − AB = AC + CB + CB + BA = AB + CA = CA + AB = CB • Décomposer un vecteur

Table des matières Préface vii Chapitre 1 Compléments d’algèbre linéaire 1 Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables 2 Réduction des endomorphismes 3 Réduction d’une matrice 1 1 7 11 Chapitre 2 Algèbre bilinéaire 1 Produit scalaire 2 Espaces euclidiens 3 Endomorphismes symétriques 24 24 35 43 Chapitre 3 1 2 3 4 Cas des fonctions de signe quelconque 59 59 64 71 77 Éléments de topologie de Rn Rappels sur Rn Distance euclidienne Ouverts

CAPES de Mathématiques Résumé de cours d’algèbre linéaire 2001/2002 Université de Cergy Pontoise Valérie Nachef Alexandre Mizrahi Espaces vectoriels - Applications linéaires Définition √ Soit K un sous-corps de C (Par exemple Q, R, mais aussi Q( 2)). On appelle espace vectoriel sur K un ensemble E muni d’une loi interne notée + et d’une loi externe notée . avec les propriétés suivantes : 1. (E, +) est un groupe abélien 2. La loi externe . vérifie (a) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E (b) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K

moins dix diviseurs appartenant à N il existe un entier premier p tel que n = 37p + 1. 1. Quel est le plus petit élément de E ? 2. Existe-t-il un élément n, de E, vérifiant 26800 < n < 27800 ? 4 points → → − − Soit E un plan vectoriel euclidien rapporté à une base a , b . (Le produit scalaire → → − − → → − − des vecteurs x et y de E est noté x · y ). Soit ϕ l’application de R dans E, telle que ∀x ∈ R, et ϕ sa dérivée. 1. Montrer que ∀α ∈ R, ϕ(α) et ϕ (α) constituent une base de E. 2. Pour tout réel t

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 10 12 13 16 17 2 Eléments du calcul matriciel 2.1 Quelques définitions et opérations . . . . . . . . . . . . 2.2 Le produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Règles du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ecriture matricielle des systèmes d’équations linéaires 2.5 L’inversion

1.1 Différentielle et gradient On se place dans des espaces vectoriels normés de dimension finie : on notera toujours · la norme, indépendamment de l’espace utilisé. Dans l’espace Rn , on note (e1 , . . . , en ) la base canonique et on identifie le plus souvent une application linéaire et sa matrice dans la base canonique. Par ailleurs, on notera AT la transposée d’une matrice A. L’espace Rn est naturellement muni d’un produit scalaire canonique, noté ·, · , et défini pour deux vecteurs x, y

Cas de la dimension finie 1) Isomorphisme 2) Supplémentaire 3) Le théorème du rang Annexe : une application du théorème du rang en S.I. I : Morphismes 1–Définition et exemples Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps . On appelle application linéaire ou morphisme d'espaces vectoriels une application f de E dans F telle que : ∀ x ∈ E, ∀ y ∈ E, f(x+y) = f(x) + f(y) ∀ x ∈ E, ∀ λ ∈ , f(λx) = λf(x) En prenant λ = 0, on remarque que f(0E) = 0F, ce qu'on peut aussi déduire du fait que f est