Pythagore

obtenu est un rectangle d'or. Prouvons que cette construction aboutit bien à un rectangle d'or, c'est à dire que AF/AD est egal au nombre d'or. Notons a le coté du carré initial. On a alors EB=a/2= le nombre d'or En utilisant le théorème de Pythagore on a EC²=a²/4 +a²=5a²/4 et par suite EF=EC=racine de 5 multipliée par a, le tout divisé par 2 On a donc AF/AD = nombre d'or puisque AF/FD= [(a/2)+(a fois racine de 5 le tout divisé par 2)]/a=(1+ racine de 5)/2 LE PARTHENON : Le Parthénon

Le Th´or`me de Pythagore e e Exercice 1 Compl´ter avec des entiers : e 16 = ...... ; 225 = ...... ; 17 = ; 3187842 = ...... ; 900 = ;   3 ¨2 = ...... . Exercice 2 Tracer un triangle IKS rectangle en S. Marquer M, pied de la hauteur relative ` l’hypot´nuse. a e ´ Ecrire la relation de Pythagore dans chacun des triangles IKS, SMK et IMS. Exercice 3 Calculer la longueur des diagonales d’un rectangle RSTU de dimensions 13 cm et 8 cm. Exercice 4 1. Tracer un triangle IJK rectangle

pas une identité. 2 Une proposition démonstrativement certaine, quant à elle, n’est pas saisie immédiatement par l’esprit humain. Il faut en effet en passer par un raisonnement, dont les étapes sont autant de médiations 3. Le théorème de Pythagore, par exemple, cité par Hume dans le texte, ne se découvre pas immédiatement. Certes, nous avons tous appris que le carré [de la longueur] de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés [des longueurs] des deux autres côtés, mais quel est ce type

treize nœuds ci-dessous, expliquer comment pouvait-on tracer un cercle à l’aide de cette corde. Allons plus loin La propriété des triangles rectangles que nous appelons propriété de Pythagore, était déjà connue des Babyloniens et des géomètres égyptiens de l’époque pharaonique, donc bien avant la naissance de Pythagore, comme en témoigne cette tablette babylonienne datant de 1800 – 1500 av. J.-C. Au fil de l’Histoire, ce théorème prit des noms divers : en particulier, les Pythagoriciens l’appelèrent

alignés ; les points et sont alignés ; est parallèle à . 1) On note . a. Montrer que le nombre vérifie l’équation : b. En déduite la longueur . 2) On note . a. Montrer que le nombre vérifie l’équation : b. En déduire la longueur . . 2) théorème de Pythagore 1) Reproduire la figure en vraie grandeur. 2) Calculer BC. 3) Exprimer l’aire du triangle ABC en fonction de AC et AB, puis la calculer 4) Exprimer la même aire en fonction de BC et AH. En déduire que AH  60 mm. 5) Calculer alors CH puis HB. Statistiques

est proportionnel au volume d’eau liquide. 3. on cherche t tel que : Soit . Ce volume d’eau augmente de 8 %. Activités géométriques Ex 1 : 2. a. ABCD est un carré, d’où =90°, et dans le triangle JBK rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore, JK² = JB² + BK² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18 D’où JK 4,2 cm. et IJ = 3 cm b. l’octogone n’est pas régulier car tous ses côtés n’ont pas la même longueur. (JK = cm). c. les 4 triangles AIP, JKB, DON et CLM sont identiques et rectangles. Aire de

= R2 − celle du secteur angulaire d’angle COO ' : A2 = π R2 π A 3) A= a) sin OCH = sin 30° = 1 donc 2 OH 1 1 = soit OH = a 3 . OC 2 2 HC 3 De même = cos30° = OC 2 3 3 donc HC = a 3 = a. 2 2 Enfin d’après le théorème de Pythagore dans le triangle HOA rectangle en H on a 2 a 2 3a 2 3  a 3 OA = HA + HO = ( HC − CA ) + HO =  a − a  +  + = a2 .  =  4 4 2   2   Ainsi OA = OC et donc le triangle AOC est isocèle. 2 2 2 2 2 2 b) L’angle dont a tourné le dispositif

100. (8%) (on applique une proportion de × 10) ACTIVITES GEOMETRIQUES 1) (voir figure en annexe pour impression sur calque éventuellement) 2) a) Calculons JK. Dans le triangle BJK rectangle en B (car ABCD est un carré) j'utilise le théorème de Pythagore JK2 = JB2 + BK2 JK2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18 donc JK =  18 ≈ 4,2 cm b) Non l'octogone n'est pas régulier car les côtés ne sont pas de la même longueur, en effet IJ = 3cm par exemple alors que JK ne mesure par 3cm. c) On obtient l'aire de l'octogone

ses diagonales sont perpendiculaires (AC) ⊥ (BD) Réciproque du théorème de Pythagore (AC) ⊥ (BC) A B Définition C ABC = 90° d d’ Parallèles et perpendiculaires d’’ (d’)A// (d’’) et (d) ⊥(d’) d Médiatrice B Hauteur A Côtés consécutifs B D C ABCD est un rectangle A Diagonales D B C ABCD est un losange Réciproque du théorème de Pythagore B C A ABC triangle et AB²=AC²+BC² Hauteurs et orthocentre H orthocentre

définit la notion de points, de ligne, de segments. Ces définitions sont suivies de cinq demandes ou postulats, puis des notions communes ou axiomes.C'est dans ce livre qu'EUCLIDE propose la première démonstration de l'histoire du fameux théorème de Pythagore (propositions 47 et 48) Le livre II s'inspire des résultats attribués à l'Ecole pythagoricienne relatifs à l'algèbre géométrique. Le livre III traite de la géométrie du cercle. Le livre IV est consacré aux polygones, à leur construction (à la