Pythagore

rectangle isocèle en A, calcule la valeur exacte de BC. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A : BC2 = AB2 + AC2 BC2 = 12 + 12 = 2 BC = √2 b. En t'aidant de la question a. et de la figure ci-dessus, calcule les valeurs exactes de DB et EB. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle DBC rectangle en C : BD2 = CB2 + DC2 BD2 = √22 +12 = 2 + 1 = 3 BD = √3 D'après le théorème de Pythagore dans le triangle DBE rectangle en E : BE2 = DB2 + DE2 BE2 = √32 + 12 = 3 + 1

est un triangle rectangle en B'. D'après le théorème due Pythagore : MN² = MB ' ² B ' N² ainsi : MN² =2²  x² = 4  x² et MN =  4  x² 1 2 2 (Comme BM = BB ' il est clair que MB ' = BB ' = 3 =2 ) 3 3 3 3. N ' ∈ [ A ' B ' ] donc A ' N  NB ' = A ' B ' = 3 et A ' N = 3− NB ' =3 − x Comme en 2° la face A'B'C'D' du cube est un carré alors le triangle NA'S est un triangle rectangle en 3 ² A' et d'après le théorème due Pythagore : NS² = NA ' ²  A ' S² soit NS² =  3 − x  ²  2  A '

CAP HORLOGERIE Chapitre … …/…/…… Propriété de Pythagore et sa réciproque Activité 1 : 1. Dessiner un triangle rectangle ABC, rectangle en A tel que : AB = 3 cm; AC = 4 cm ; BC = 5 cm. 2. Sur chaque côté du triangle, tracer un carré extérieur au triangle, Nommer les carrés : ACDE, AFGB, BCIH. 3. Exprimer en fonction de AB, AC ou BC et calculer les aires suivantes : A1 = aire du carré ACDE. A2 = aire du carré AFGB. 4. Calculer la somme de ces deux aires. 5. Exprimer en fonction de AB, AC ou BC et

2 (6 points) 1. Dans le triangle PLI, le plus grand côté est [LI]. Comparons LI² et LP² + PI² : LI² = 13² LP² + PI² = 5² + 12² LI² = 169 LP² + PI² = 169. On constate que LI² = LP² + PI², donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PLI est rectangle en P. PL × PI 5 × 12 60 = = = 30 cm². 2 2 2 3. Puisque le triangle PLI est rectangle en P, le centre O de son cercle circonconscrit se situe au milieu de l’hypoténuse [IL]. 5 × 12 × 13 5 × 2 × 2 × 3 × 13

autorisée est un délit. GÉOMÉTRIE 92 10 Triangle rectangle et cercle circonscrit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11 Distance – Tangente – Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12 Le théorème de Pythagore et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . 132 13 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 14 Cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle. . . . . . . . . . . 157

: 1.5 2. Le plus grand coté de SAB est AB 2 Comparons séparément AB² et SA²+SB² AB² = 13² = 169 SA²+SB² = 5²+12²=25+144=169 Donc dans le triangle SAB on a l’égalité AB² = SA²+SB² D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SAB est rectangle en S 3. Dans le triangle SAB rectangle en S la formule du cosinus donne 1.5 Cos = = donc = Cos-1 () ( 67° ( 67° 4. I est le milieu de [AB] d’après l’énoncé 2 I est le milieu de [SR] car

médiatrice. (4ème) Triangle ● ● ● ● ● ● ● ● ● Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. (4ème) Conséquence du théorème de Pythagore : Si dans un triangle, le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle. (4ème) Réciproque du théorème de Pythagore : Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la

prouver qu’un triangle est rectangle. 2 G´ eom´ etrie du triangle 3 3.1 www.mathforu.com Propri´ et´ es de Pythagore Le th´ eor` eme direct Th´ eor` eme 4 Dans un triangle rectangle, le carr´e de l’hypot´enuse est ´egal a la somme des carr´es des cˆot´es de l’angle droit. ` Dans la figure suivante, en notant AB = x, AC = y et BC = z, on a x2 + y 2 = z 2 C’est la relation de Pythagore entre les cˆot´es x, y et z d’un triangle rectangle. A y x C z B Lorsqu’un triangle est rectangle, on peut donc

Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. Solution : Calculons l’angle A : A = 180 – (B + C) = 180° – (60° + 30°) = 180° - 90° = 90°. A = 90° ce qui prouve que le triangle ABC est un triangle rectangle en A. • Réciproque du théorème de Pythagore Dans un triangle : Si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et le plus long côté est l’hypoténuse. SI ALORS BC² est égal à AB² + AC² ABC est un triangle rectangle en A

4ème) 1pt 3. Dans ce triangle TIC rectangle en I, d'après le théorème de Pythagore TC² = IT² + IC² 13² = 5² + IC² donc IC² = 13² – 5² = 144 2pts D'où IC = 12cm  Exercice 5 5pts 4. Les côtés du triangle TIC mesurent 13cm, 10cm et 5cm. S'il est rectangle, l'hypoténuse serait [TC] TC² = 13² = 169 AT² + AC² = 10² + 8² = 164 Comme TC² ≠ AT² + AC², le triangle n'est pas rectangle, l'égalité de Pythagore n'étant pas vérifiée. En conséquences, le point n'appartient pas au cercle