Pythagore

cercle de diamètre [AB]. • Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit (Théorème de Pythagore). • Si dans un triangle le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore). Triangle isocèle, triangle équilatéral : • Si un triangle ABC est isocèle en A, alors les angles de sommets B et C sont égaux. • Si un triangle est équilatéral

triangle rectangle isocèle tel que AB = AC = a. Alors BC = a 2 a Remarque A a B C’est une conséquence du théorème de Pythagore : BC2 = AB2 + AC2 = a 2 + a 2 = 2a 2 Exemple B Si ABC est un triangle équilatéral de côté a alors les hauteurs de ABC ont pour longueur a Remarque C a a 3 I 2 a 3 . 2 a A B C’est une conséquence du théorème de Pythagore : BC2 = AB2 + AC2 = a 2 + a 2 = 2a 2 C Les quadrilatères Définitions Un rectangle est un quadrilatère ayant 4 angles

Produit Scalaire I. Définition du produit scalaire On connaît le célèbre théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. A l'aide de la figure ci-contre, on a : Que ce passe-t-il si le triangle est quelconque ? Qu'est le nombre ? A-t-il une signification géométrique ? vectorielle ? analytique ? Le produit scalaire va apporter une réponse. Soit ABC un triangle. Soit H le projeté orthogonal

isocèle et du triangle équilatéral - Savoir utiliser ces propriétés pour faire des déductions simples (démonstrations) - Connaître le théorème de Pythagore ; savoir l’utiliser lorsqu’un triangle est rectangle ; savoir aussi l’utiliser pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle(« contraposée »). - Savoir énoncer et utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. Revoir également le travail sur les algorithmes. feuilles polycopiées 

S' P = 2 × [16 + 4 2 + 16 – 4 2 ] P = 64 (cm) 2/b/ A = (16 + 4 2) × (16 – 4 2) A = 162 – (4 2)2 A = 256 – 16 × 2 2/a/ P = 2 × [(16 + 4 2) + (16 – 4 2)] 11 cm A = 224 (cm2) 2/c/ Le triangle STU est rectangle en T, le théorème de Pythagore donne : SU2 = TS2 + TU2 d2 = (16 + 4 2)2 + (16 – 4 2)2 d2 = [162 + 2×16×4 d 2 = 256 + 2×16×4 Et finalement, d = 2 + (4 2)2 ]+ [162 – 2×16×4 2 + (4 2)2] 2 + 16×2 + 256 – 2×16×4 2 + 16×2 = 576 576 = 24 (cm) T' 4/7 U' SOLUTION DE LA

perpendiculaires. Réciproque du théorème de Pythagore. Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté. On sait que AB = 6 cm, BC = 10 cm, AC = 8 cm. On a : AC² = 100 et AB² + BC² = 36 + 64 = 100. Donc : AB² + BC² = AC². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, on a donc : ABC est rectangle en B.

la hauteur principale coupe la base en son milieu)  Propriétés du triangle rectangle : - son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse - théorème de Pythagore pour calculer le 3e côté quand on en connaît 2 Ne pas confondre avec les réciproques qui permettent de prouver qu’un triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore quand on connaît les longueurs des 3 côtés / un diamètre – cité entre crochets - et un 3e point sur le même cercle).  Propriété de la médiatrice d’un segment

ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 points) Exercice 1 : 1. a) Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AC]. D’une part AC2 = 152 = 225 D’autre part AB2 + BC2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225 2 2 2 Donc AC = AB + BC D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. b) Voir figure en fin d’exercice. 2. a) Voir figure en fin d’exercice b) Dans le triangle ABC, les points A, E, B d’une part et A, F, C d’autre part sont alignés dans le même ordre. AF 5 1 AE 3 1 = = et

Volume pyramide = ( 35²x 21 ) / 3 = 8575 m3. Ne pas oublier d’écrire les unités de volumes. Partie B 1) Dans ABC rectangle en B, on calcule AC en appliquant Pythagore. AC = √ AO = AC/2 = √ = 35 √ m /2 m On demande dans cette question que les valeurs exactes. 2) Dans AOE rectangle en O, on calcule AE en appliquant Pythagore. AE = √ m On demande dans cette question la valeur exacte, puis la valeur arrondie au mètre près. 3) Faire un schéma avec un triangle isocèle et la hauteur

Londres. L est situé sur la sphère et sur le cercle de centre S (voir figure). On admettra que l’angle  LSO est un angle droit. On donne OS = 4 880 km. 1) Calculer SL au km près. Au triangle SLO rectangle en S, on applique le théorème de Pythagore : OL² = OS² + SL² Soit 6 370² = 4 880² + SL² D'où SL² = 6370² – 4880² Donc SL² = 16762500 Soit SL =  16762500 Donc SL ≈ 4 094 km Sujet Polynésie septembre 2005 2) Calculer la mesure de l’angle  SOL et arrondir au degré prés.