Quadrilatère complet

propriétés pour trouver la nature d'un quadrilatère I - Démonstrations pour un parallélogramme 1 On sait que : I est le milieu de [AC] et : I est le milieu de [DB] or si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu, alors c'est un parallélogramme donc ABCD est un parallélogramme. 2 On sait que : (AB) et (DC) sont parallèles et : (BC) et (AD) sont parallèles or si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c'est un parallélogramme donc ABCD est un parallélogramme

Les polygones … Contrôle de connaissances. instit90 Je sais ma leçon  Je sais ma leçon  Je ne sais pas ma leçon  est un polygone à 4 sommets et 4 côtés. Un polygone   Un quadrilatère   côtés opposés (face à face)         Les 4 côtés sont perpendiculaires mais n’ont pas la même   longueur : seuls les côtés face à face (opposés) ont même longueur.  est un polygone dont les sont parallèles. Un parallélogramme

de vecteur . 5) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse. Exercice 2 : (Brevet 2006) On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le centimètre. 1°) Dans ce repère, placer les points : A (l ; 2) B (-2 ; l) C (-3 ; -2). 2°) Calculer les distances AB et BC. 3°) Calculer les coordonnées du vecteur . 4°) Construire le point D, image du point A par la translation qui transforme B en C. 5°) Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange. Exercice 3 : (Brevet

trois côtés de même longueur. AB = AC = BC A = B= C= 60° Quadrilatères : Trapèze : Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles : AB // DC A B C D Trapèze rectangle :Un trapèze rectangle est un trapèze qui a un angle droit (trapèze + pointillés). AB // CD et A= D = 90° Trapèze isocèle : Un trapèze isocèle est un trapèze qui a deux cotés de même longueur. D=C AB // CD AD = BC Parallélogramme :Un parallélogramme est un quadrilatère dont les cotés opposés sont parallèles. AB // CD AD //

et sont alignés dans cet ordre si et seulement si alors on a bien , et . g) Faux : si est le milieu du segment h) Faux : on sait seulement que le quadrilatère est inscrit dans un cercle de : diamètre Vraie : c’est un losange. Faux : un losange n’est pas forcément un carré. Vraie : un carré est un losange particulier. Vraie : un losange est un quadrilatère dont les côtés ont même longueur. Faux : par exemple l’équation n’a pas de solution. Vraie : l’équation admet pour solutions , , et (environ). admet

forme circulaire. Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse. On simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le quadrilatère ou le triangle d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est

(P’))= . On en déduit : d(A ; (P))= 6 3 Notons H et H’ les projetés orthogonaux de A sur (P) et sur (P’). Comme les deux plans (P) et (P’) sont orthogonaux, le projeté orthogonal de H sur (P’) est cofondu avec le projeté orthogonal de H’ sur (P). Le quadrilatère AHDH’ est donc un rectangle. Soit δ la distance entre A et (d). δ est la longueur de la diagonale de ce rectangle. On applique le théorème de Pythagore : δ2 = 2 2 2 2 2 4 + = + = 2. D’où δ = 2. 3 3 6 3 E XERCICE 2 3 points 1. Restitution organisée

résoudre le système et par suite y = 2 c- on considère les points en K. et N(6 ; 0). Démontrons que KMN est rectangle 7pts 0,5pt 1pt 1pt 0,5pt 1pt 0,25pt 0,25pt On a : On a bien MN² = KN² + KM² donc KMN est rectangle en K 4. a- le quadrilatère MNM’N’ est un losange car ses diagonales se coupent en leurs milieux et sont perpendiculaires. b- calculons l’aire B du losange MNM’N’ B = 4( ) = 2NK x MK = 2 x x = cm² 0,25pt 0,25pt 1pt 1pt 3 (D’) (D) 5 N’ R M’

Propriétés Carré : 1. Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle droit alors c'est un carré. 2. Si un quadrilatère est un carré alors il a quatre côtés de même longueur, quatre angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. 3. Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, de même longueur et perpendiculaires alors c'est un carré. 4. Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont le même milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur

cercle, ceux-ci étant inscrits, interceptent la même corde mais pas le même arc. • dans un cercle, un angle inscrit et un angle tangentiel interceptent le même arc. • ceux–ci appartiennent à un quadrilatère croise qui est inscriptible dans un cercle. • ceux-ci appartiennent à un quadrilatère convexe qui est inscriptible dans un cercle. 2) Deux segments sont de même longueur si… • ils sont les côtés opposés d’un parallélogramme