Quadrilatère complet

A, M et M sont alignés  1 c- On prend z    i y avec y   . 2 Construire le point M  d’affixe z 3 . 2/ a- Résoudre dans  l’équation : z 4  1. b- Soit N le point d’affixe z N    z2  2  Déterminer les nombres complexes z pour que le quadrilatère AMNM soit un parallélogramme. 

D sont respectivement − π3 , π6 et 2π 3 , donc les droites (OB) et (OC ) sont perpendiculaires, de même que (OC ) et (OD). Le parallélogramme ABC D a ses diagonales perpendiculaires : c’est un losange : Comme [AC ] et [BD] sont des diamètres le quadrilatère ABC D est un rectangle. Conclusion : ABC D est un carré. 2. a. Dans la rotation r le point B, un point et son image sont les trois sommets d’un triangle équilatéral (triangle isocèle ayant un angle au sommet de π3 ). Pour construire F il suffit

rapport aux côtés du triangle sont sur C. 1) Le point D étant diamétralement opposé à A sur le cercle C, réaliser une figure. 2) Montrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles, ainsi que les droites (BD) et (CH). 3) Quelle est la nature du quadrilatère BHCD ? En déduire que [BC] et [HD] ont même milieu. 4) Soit H’ le symétrique de H par rapport à (BC). Montrer que le triangle HH’D est rectangle en H’. 5) En déduire que H’ est un point du cercle C. 6) Justifier alors que le résultat énoncé plus

ont même milieu. Nous utiliserons les propriétés des arêtes d'un parallélépipède rectangle (deux droites parallèles définissent un plan: puisque vous travaillez dans un plan, vous pouvez donc utiliser les théorèmes permettant de démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle (fiche 9 QRECT n°1) et les propriétés des diagonales de ces rectangles ).     -  Démontrez que AEGC, BDHF et BCHE sont des rectangles. Il suffit de montrer qu'ils possèdent trois angles droits. Par exemple, pour AEGC: comme le

d'un carré Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires. Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont le même milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur. d) Les propriétés des côtés consécutifs d'un rectangle, d'un carré (angles droits) Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur deux à deux et ses quatre angles sont droits. Si un quadrilatère est un carré alors

a) On note I et J les milieux respectifs des segments [PR] et [QS]. x +x y +y –4+2 –1+2 1 = – 1 et y1 = P R = = . xI = P R = 2 2 2 2 2 1 Le même type de calcul pour J amène xJ = – 1 et yJ = . 2 Donc I et J sont confondus. b) Les diagonales du quadrilatère PQRS ont le même milieu. C’est donc un parallélogramme. C O K B A x +x 0+7 7 = a) On sais que xJ = O B = 2 2 2 yO + yB 0 + (– 4) yJ = = = – 2. 2 2 7 Donc J ; – 2 . 2 x +x –3+5 =1 b) On sait que xK = A C = 2 2 yA + yC (– 4) + 2 yK = = – 1

est un parallélogramme Si ABDC est un parallélogramme , alors AB = CD Remarque : Cette propriété permet de relier cette nouvelle notion à des connaissances antérieures. Pour démontrer que des vecteurs sont égaux, il suffira de démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme. Conséquence : Si AB = CD alors BA = DC BA = DC CA = DB AB = CD BA = DC BA = DC CA = DB Remarque : Considérons les deux vecteurs AB et CD représentés sur la figure ci-dessous : Sont-ils égaux ? Ils

le récipient ? Exercice 3 (8 points) ABCDEFGH est un pavé droit dont les dimensions sont : AB=7,5  cm , BC =6  cm , AE=8  cm . E F 1/ Calcule la longueur HA . 2/ Quelle est la nature de ABGH ? (on ne justifiera pas sa réponse). Représente D ce quadrilatère en vraie grandeur. 3/ Calcule la valeur exacte de HB . A B 4/ On considère la pyramide HABD de sommet H . a. Quelle est la nature de sa base ? Calcule son aire. b. Calcule le volume de pyramide HABD . c. Soit I le point de [ HD ] tel que HI=2 

parallélogramme : Soit A, B, C et D quatre points deux à deux distincts. Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux revient à dire que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. B A Démonstration : Si AB = CD , la translation de vecteur AB transforme le point C en D. Les segments [AB] et [CD] ont donc même longueur et même direction. Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme éventuellement aplati. Réciproquement : Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles

que le triangle ABC est rectangle en C. 2 ) Soit P un point du segment [ BC ]. La parallèle à la droite ( AC ) passant par P coupe le segment [ AB ] en R. La parallèle à la droite ( BC ) passant par R coupe le segment [ AC ] en S. Montrer que le quadrilatère PRSC est un rectangle. 3 ) Dans cette question, on suppose que le point P est situé à 5 cm du point B. a) Calculer la longueur PR. b) Calculer l’aire du rectangle PRSC. La figure n’est pas en vraie grandeur. Partie 2. On déplace le point