Quantificateur

moins un ´l´ment x de l’ensemble E pour lequel la propri´t´ est vraie ; ee ee – ∃!x ∈ E, P (x) lorsqu’il existe un unique ´l´ment de l’ensemble E pour lequel la propri´t´ est vraie. ee ee Il faut savoir nier une proposition d´pendant de quantificateurs : e Exercice 1-1 Quelle est la n´gation des propositions suivantes : e 1. ∀x ∈ E, P (x) ; 2. ∃x ∈ E, P (x) ; 3. ∀x ∈ E, ∃y ∈ E, P (x,y) ; 4. ∃x ∈ E, ∀y ∈ E, P (x,y) ; 5. ∃r ∈ R, ∃s ∈ R, ∀x ∈ R, x ≤ r et s ≤ r. Remarque 2. Nous utiliserons

q 2q 3q 4q 5q Figure 6.16 Courbe de transfert d’un quantificateur uniforme ou linéaire. L’erreur de quantification ´ pour une quantification uniforme dans le cas de l’arrondi au plus proche voisin est égale au demi-pas de quantification q/2 (cf. figure 6.17). 132 6 • Numérisation des signaux q/2 ε valeur de se q −q/2 2q 3q 4q 5q Figure 6.17 Évolution de l’erreur de quantification associée à la courbe de transfert d’un quantificateur uniforme ou linéaire. L’évolution de cette erreur en dent

musique, e e regarder un video, regarder une page web par Internet etc. Dans tous ces cas le ”signal” ´tant e respectivement la voix, la musique, le video, les graphiques sont ` convertir en une suite des bits. a Un tel appareil est appel´ le quantificateur. Il existent plusieurs m´thodes de quantification qui e e convertissent et compriment le signal en bits. Codage de canal : Le codeur de canal ajoute une redondance pour proteger l’information contre les erreurs introduites par un canal de communication

N , alors P (n + 1) est aussi satisfaite. 1 2 1. BASES Une fois cela établi, on en déduit que la propriété P (n) est vraie pour tous les nombres entiers naturels n ≥ N . 1.3. Les nombres réels. Dans la suite on aura besoin d’utiliser les quantificateurs ∀ et ∃ qui se lisent respectivement pour tout (ou quel que soit) et il existe. L’ensemble R, dont les éléments sont appelés nombres réels, est un ensemble muni des deux lois de composition internes, l’addition notée + et la multiplication notée

Preuve. CQF D ` premi`ere vue on pourrait avoir l’impression que l’hypoth`ese 20.7 Nota Bene. A (b) dans [20.6] a deux quantificateurs universels et donc qu’on pourrait les ´echanger en disant que pour µ-presque tout ω pour tout a ∈ U on a limx→a fx (ω) = fa (ω). Malheureusement (ou plutˆ ot heureusement) ce n’est pas le cas : la condition de µ-presque tout ω contient un quantificateur existentiel (voir [6.15]). L’hypoth`ese (b) s’´ecrit donc comme ∀a ∈ U ∃A ∈ F : µ(Ac ) = 0 et ∀ω ∈ A : lim fx (ω) =

les d´eductions suivantes : 5 non((A) ou (B)) ⇔ (non(A) et non(B)) non((A) et (B)) ⇔ (non(A) ou non(B)) non(A) ou (B) ⇔ (A ⇒ B) (A et B) ou (C) ⇔ (A ou C) et (B ou C) Les quantificateurs permettent de transformer un ´enonc´e contenant une variable en un ´enonc´e “absolu” : nous utiliserons exclusivement deux quantificateurs : il existe (en symbole ∃) pour tout (en symbole ∀) Exemple : consid´erons les ´enonc´es suivants contenant la variable x ∈ R. A(x) : x2 − 1 = 0 B(x) : x2 + x = x(x + 1) C(x)

relation réflexive, transitive et antisymétrique.) b) La relation d’ordre ⊂ est-elle totale (on justifiera la réponse) ? 2 - On note A1 = {0; 4}, A2 = {4; 5}, A3 = {0; 2; 4} et A = {A1 , A2 , A3 }. a) Soit X un élément de E. Ecrire, à l’aide de quantificateurs, la propriété «X est un minorant de la partie A pour l’ordre ⊂» et sa négation. b) Montrer que la partie A n’admet pas de plus petit élément. c) Déterminer l’ensemble des minorants de la partie A dans E. d) Démontrer que la partie A admet dans

dictionnaire initial est choisi aléatoirement et n’influence pas le résultat final. Rappelons que dans les autres méthodes de quantification vectorielle, ce choix met en oeuvre de nombreux calculs et constitue un facteur déterminant pour la qualité du quantificateur final. 58 7 Un réseau évolutive, ART à architecture ART (Adaptive Resonance Theory) est un modèle de réseau de neurones à architecture évolutive développé en 1987 par Carpenter et Grossberg. Dans la plupart des réseaux de neurones

variables (x,y dans notre exemple) et des constantes dans les expressions. Les prédicats peuvent être associés par des connecteurs logiques : ∧ (et), ∨ (ou), ¬ (non), ⇒ (implique). Le domaine de discours des variables s’exprime à partir des quantificateurs ∀ (quel que soit) et ∃ (il existe). Ce formalisme simple permet d’exprimer des propriétés comme celle-ci : « si x est mangé par y ou y est mangé par x, ils appartiennent tous deux à la même chaîne alimentaire ». 76 Création de bases de

d´ductions suivantes : e e 5 non((A) ou (B)) ⇔ (non(A) et non(B)) non((A) et (B)) ⇔ (non(A) ou non(B)) non(A) ou (B) ⇔ (A ⇒ B) (A et B) ou (C) ⇔ (A ou C) et (B ou C) Les quantificateurs permettent de transformer un ´nonc´ contenant une variable en e e un ´nonc´ “absolu” : nous utiliserons exclusivement deux quantificateurs : e e il existe (en symbole ∃) pour tout (en symbole ∀) Exemple : consid´rons les ´nonc´s suivants contenant la variable x ∈ R. e e e A(x) : x2 − 1 = 0 B(x) : x2 + x = x(x +