Quantile

différentes parties prenantes, construit-on le profil de risque de l’entité. fournit un cadre quantitatif sur lequel il est possible de s’appuyer pour construire un dispositif de base. En recalibrant les chocs étalonnés par défaut (1) au niveau du quantile à 99,5 %, il est possible de définir des scénarios permettant La mise en place d’un dispositif global et intégré de contrôle des risques doit s’appuyer sur un ensemble d’éléments quantitatifs aptes à fixer des limites de risque supporté, tant

page 82 : petit salaire L’individu numéro 6 est médian Médiane = x6 = 1067 € 1 salarié sur 2 a un salaire inférieur ou égal à 1067 €. `Calcul général : notion de quantile qα d’ordre alpha. C’est la valeur qα telle qu’une proportion alpha de sujets a une score ≤ qα Médiane = quantile d’ordre α = ½ = 0,5 Rang du quantile d’ordre α rang = αn + ( ½) Calcul du rang de la médiane : α = 0,50 n = 11 Rang = 0,5 x 11 + ½ = 6 Médiane = salaire de l’individu n° 6 = x6 = 1067 €. 2ème cas :

portefeuille placement de la CDG. - 120 - Tableau 3.7 : VAR(99% ,4 jours) basée sur l’approche quantile d’ordre 90% du spread pour - 120 - chaque titre du portefeuille placement CDG . - 120 - Tableau 3.8 : VAR(99% ,4 jours) basée sur l’approche quantile d’ordre 95% du spread - 121 - pour chaque titre du portefeuille placement de la CDG. - 121 - Tableau 3.9 : VAR(99% ,4 jours) basée sur l’approche quantile d’ordre 99% du spread pour - 121 - chaque titre du portefeuille placement de la CDG. - 121

Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Lien entre moyenne et variance empiriques . 6.4 Estimation des moments de tous ordres . . . . . . . 6.5 Estimation des quantiles . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Propri´t´s des quantiles empiriques . . . . . ee 6.5.2 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . 6.6 Lois asymptotiques des extrˆmes . . . . . . . . . . e 7 Estimation fonctionnelle 7

loi de distribution standard qui pourra ˆtre assimil´e e e a e e a ` la loi des rendements. Pour cela on r´duit et on centre ∆Wt+1 . Ceci nous donne : e P − V aRt (α) + E(∆W ) (∆Wt+1 − E(∆W )) ≤ =α σ(∆W ) σ(∆W ) (α)+E(∆W ) o` zα repr´sente le quantile d’ordre α de la distribution Normale u e En posant zα = V aRtσ(∆W ) standard, on exprime alors la VaR de la fa¸on suivante : c V aRt (α) = E(∆W ) + zα × σ(∆W ) La plus part du temps, la loi de distribution des rendements est proche d’une loi Normale

pire perte attendue sur un horizon de temps donné pour un certain niveau de confiance. La VAR peut être considéré comme un quantile de la distribution de pertes et profits associée à la détention d’un actif ou d’un portefeuille d’actifs sur une période donnée. Par exemple, si on considère un taux de couverture de a% (souvent 95% ou 99%), la VAR à un jour correspond au quantile de niveau a% de la distribution de pertes et profits sur la période de détention d’un actif. III- De quoi dépend la Value

résultats Exemple de seuils de tolérance Probabilité de Résultats à zéro ou négatifs ≤ x % Montant minimum de Résultats que la compagnie souhaite atteindre avec une probabilité de x % à l'horizon n années Type de Mesure Exemple de Exemple d' Quantile (x ) 5% - 10% 90% - 75% Horizon (n ) 1 an ou 3-5 ans 1 an ou 3-5 ans Probabilité Earnings at Risk Le potentiel de baisse des Résultats sera inférieur à 50%  Earnings at Risk  des Résultats Attendus dans au moins x % des cas à l'horizon

indicateurs de tendance centrale et de position C. Les indicateurs de dispersion D. Les caractéristiques de forme E. Les caractéristiques de dispersion relative 13 13 14 23 26 29 IV. La boîte de distribution A. Résumé d’une distribution par des quantiles B. Représentation d’une boîte de distribution C. Interprétation d’une boîte de distribution V. 33 33 34 36 Bilan 37 Testez-vous 39 Exercices 41 2. Indices statistiques I. 47 Indices élémentaires A. Définition 47 B. Propriétés 48 47 TABLE

. . . 12 13 5.1 BIS Colour frequency (taux de couverture de 99%) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 40 42 46 46 48 49 49 51 52 53 54 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 Estimation d’un quantile et erreur de second type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Une illustration de la m´ethode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caract`ere lepto-kurtique d’une distribution de probabilit´e . . . . . . . . .

asymptotique de la moyenne d'un grand nombre de variables indépendantes, ne semble plus adéquat lorsque des événements rares ou extrêmes deviennent normes, comme lors de la crise des Subprimes. A ce titre, la Value-at-Risk, qui peut se définir comme le quantile déterminant la plus grande perte que peut subir un portefeuille avec une probabilité d'occurrence déterminé, permet de mesurer ce risque extrême. La théorie des valeurs extrêmes (TVE), étudiée dans le cadre de la recherche d'évènements rares d'une