Quantile

ce qui nous impose N > 50. Si on accepte un risque de première espèce , c'est-à-dire une probabilité de rejeter à tort une distribution effectivement uniforme, on adopte la règle suivante : On accepte l'hypothèse d'uniformité si D2 < Quantile (2 ; K-1 ; 1-) et on la rejette sinon. Remarquons qu'avec = 5%, cette procédure doit rejeter en moyenne une génération correcte sur 20; il est donc préférable de faire un seul test sur un échantillon assez gros (N=1000 par exemple) que de multiplier

comprend plus aisement pour une fonction discr`te. Pour une e fonction discr`te elle pour x est P (X = x). Pour une fonction continue e on peut la mˆme analogie avec P (X = x + ) avec infiniment proche de e z´ro. e – q : Cette fonction donne le quantile. Le quantile est la fonction inverse de la fonction de r´partition. Elle est ` utiliser quand e a on dispose de la probabilit´ P (X ≤ x) et que l’on veut la valeur de x e correspondante. – r : elle permet de g´n´rer al´atoirement des nombres dans e e e

les médias : 1 français sur 2... 1) Calcul à partir d'une série de valeurs. 1er cas : effectif impair ( n=11) L'individu n°6 est médian Médian = x6=1067€ 1 salarié sur 2 a 1067€ CALCUL GENERAL Notion de quantile q(alpha) d'ordre alpha Médiane : quantile d'ordre = ½ = 0,50ː Rang du quantile d'ordre alpha Rang = ap*n+( ½ ) Calcul du rang de la médiane ap = 0,50 ; n= 11 Rang = 0,50*11+ ( ½ ) Calcul de la médiane 2ème cas : effectif pair Exemple 2 Usine « pestitsalaire » (n=8)

� ∆1 la différence en densité entre la fréquence de la classe modale et la classe précédente � ∆2 la différence en densité entre la fréquence de la classe modale et la suivante Calcul du quantile d’ordre α dans le cas d’une variable continue Si les données sont regroupées en classes, le quantile d’ordre α peut s’obtenir par interpolation linéaire en utilisant la relation suivante : Qα = ei + α− Fi Fi+1 − Fi × (ei+1 − ei), où � ei désigne la valeur de l’extrémité inférieure de la classe

0,2846 Généralisation de la médiane : les quantiles ● Les quartiles partagent la population en 4 sous-population égales ; – – – F(Q1) = 0,25 → Q1 = 19 (précisément 19,652) F(Q2) = 0,5 → Q2 = la médiane Me = 20,186 F(Q3) = 0,75 → Q3 = 21 (précisément 21,15) ● ● ● Les déciles partagent la population en 10 … Les centiles partagent la population en 100 … Les quantiles partagent la population en q sous-populations égales. Les quantiles ● Les plus : – – Ne nécessitent qu'une

Sample Quantiles −4 −2 0 2 0e+00 6e+05 3e+05 Sample Quantiles 0 0e+00 60000 −2 VALUE 4 −4 −2 0 2 YOJ DEROG DELINQ −2 0 2 4 −4 −2 0 2 0 8 4 0 40 20 −4 4 −4 −2 0 2 CLAG NINQ CLNO 0 2 4 −4 −2 0 2 Theoretical Quantiles 4 30 0 15 0 5 600 0 −2 Theoretical Quantiles 4 60 Theoretical Quantiles Sample Quantiles Theoretical Quantiles Sample Quantiles Theoretical Quantiles −4 4 5 10 Theoretical Quantiles Sample Quantiles Theoretical Quantiles Sample

numérique autour du quel se répartissent les observation remarque : l’indicateur est abstrait : il peut ne pas exister réellement ou rien ne signifier en soi exemple : 2.04 enfants par femmes. Les principaux indicateurs sont : mode, médiane, moyennes, quantiles 3.1 Le Mode A. Cas discret Définition : On appelle Mode dune valeur quantitative discrète (et on le note ) d’une variable quantitative discrète la modalité la plus fréquente. * Détermination immédiate

qu’elle existe pour toute variable aléatoire réelle X. Définition 14 Nous notons les quantiles d’ordre α2 et 1 − ment q α (X) et q(1− α ) (X) et nous les définissons par : 2 α 2 respective- 2 P(X q α (X)) = 2 α 2 et P(X q1− α (X)) = 1 − α2 . 2 Exemples Pour une variable aléatoire suivant une loi normale centrée et réduite le logiciel R nous donne le quantile q0,025 suivant : > qnorm(0.025) −1.959964 et le quantile q0.975 suivant : > qnorm(0.975) 1.959964. Ces valeurs peuvent être visualisées sur

distribution de ces extrêmes et ainsi modéliser le maximum ou le minimum d’un très grand échantillon. L’approche par régression sur quantile - CAViaR La grande particularité de cette approche réside dans le fait que l’on ne se base plus sur une distribution afin d’en déduire un quantile (VaR), mais à modéliser directement ce quantile par une approche de régression quantile. 3. VAR SUR EXCEL 3.1 ELÉMENTS NÉCESSAIRES POUR CALCULER LA VAR Pour développer notre modèle de VaR, nous avons besoin de 5 variables

une idée vague des modalités autour desquelles les individus sont regroupés. Les paramètres de position encore appelés caractéristiques de tendance centrale vont préciser ces modalités. Ce sont : le mode, la moyenne arithmétique, la médiane et les quantiles. 3- 1 -Le mode 3-1-1- Définition Le mode M0 (ou dominante) d’une série statistique est la valeur du caractère qui a l’effectif (ou la fréquence) maximal(e). Il peut exister plusieurs modes dans une même série. Lorsque la variable est continue, on