Racine carrée

Soient a, b et x trois nombres réels. On dit que a et b encadrent x lorsque a ≤ x ≤ b. Exercice : x est un réel tel que –1 < x < 2. On pose B = -2x – 3. Trouver un encadrement de B. II. Inégalités sur les carrés, les racines carrées, les inverses a) Passage au carré, à la racine carrée Propriété : a et b étant deux nombres positifs distincts, a < b équivaut à a² < b². démonstration : On sait que a² – b² = (a – b)(a + b). Comme a et b sont positifs, a + b est aussi positif et on en déduit que a – b

Exercice 2 : 1) 2) 3) D’après le théorème énoncé à la question 2) de l’exercice 1 : Ce sont les racines du trinôme. Les solutions de l’inéquation . sont : Exercice 3 : 1) . . Les racines de ce trinôme sont et . . 2) 3) étant négatif, le trinôme est négatif à l’extérieur de ses racines : Exercice 4 : 1) . 2) Le petit carré a pour aire et le grand carré a pour aire donc : . 3) a) est de la forme avec . . Or : et cours), le

de la moyenne arithmétique. L'écart-type (σ) est la racine carrée de la variance. Il est donc facile de trouver la variance à partir de l'écart-type et vice versa. La formule mathématique de la variance s'écrit comme suit : i, observation «i» de la variable X; μ, moyenne de la variable X; n, nombre d'observations; Tous les logiciels statistiques en font le calcul. La logique du calcul, est fondée sur le calcul du carré de la distance entre les observations et la moyenne

et rationnels. Cependant, ils étaient complètement confondus quand ils ont remarqué que les racines carrées de certains nombres ne donnent pas des nombres entiers. 4.) L’invention du nombre zéro (sunya) des Indiens a résolu le grand problème des humains d’écrire des très grandes valeurs. 5.) L’invention des nombres décimaux en Perse par Al-Kashi a résolu le problème associé en faisant la racine carré des nombres qui ne sont pas des carrés parfaits. 6.) L’invention des nombres négatives en

Centaines Tableaux des unités Pour convertir, il faut décaler la virgule de 1 en 1 en ajoutant des zéros si c’est nécessaire. kilo 1000 Les préfixes hecto déca 100 10 déci 1 10 dm centi 1 100 cm milli 1 1000 mm tonne t Unités d’ aires : le mètre carré ( m2 ) . Pour convertir, il faut décaler la virgule de 2 en 2 en ajoutant des zéros si c’est nécessaire. km2 hm2 ha 0 0 1 dm 2 = 100 cm 2 l’ are (a) et l’ hectare ( ha) 1 km 2 = 100 hm 2 1 a = 1 dam 2 Unités de volumes: le mètre cube (m 3 ). Pour

de Mandelbrot. Mais qu’est ce qu’un nombre complexe ? On définit un nombre, noté i, tel que i2 = -1. Ce nombre n'est donc pas un réel car cette opération était jugée impossible par les mathématiques anciennes, puisqu’avec les nombres réels un carré est toujours positif. Il appartient donc à l'ensemble C des nombres complexes, qui inclut aussi l'ensemble R des nombres réels. Les règles de calcul usuelles dans R sont aussi valables dans C. Les opérations d'addition, de multiplication, ... sont

Fonction carré La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles. Propriétés [modifier]Signe La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x on a forcément deux fois le même signe à droite; donc y est supérieur ou égal 0. Et s'annule uniquement en 0. Parité Vient ensuite la parité de la fonction

– 5 est Si 3 ≤ x < y ≤ 8 alors que peut-on dire de −2x + 3 et −2y + 3 ? Autres utilisations : les inéquations, les intervalles (déjà fait) II- Comparaison des carrés, des racines carrées, des inverses. Théorème : Soient a et b deux réels positifs quelconques. • Si 0  a < b alors a² < b² Le carré et la racine carré ne changent pas l’ordre • Si 0  a < b alors a < b 1 1 le passage aux inverses • Si 0 < a < b alors > > 0 a b change l’ordre Exemples : • montrer que 2 7 > 3 3 1 • pour 2  x, encadrer

dire des droites (CD) et (SH) ? Justifier . Tracer (SH) 20) Soit K(x ; y) un point de la médiatrice (SH) de [CD] a) Calculer , en fonction de x et y , les longueurs CK et DK (sans développer les expressions sous les racines carrées) b) Justifier que CK=DK. En élevant au carré les deux membres de cette égalité, recopier et compléter l'égalité obtenue : (x + … )² + ( y + ….)²= ( x - ….)²+ (y + ….)² c) En développant et en regroupant les termes dans le membre de gauche de l'égalité, obtenir

deux termes Produit de deux termes Carré de deux termes Somme de trois termes Différence de 2 carrés Expression algébrique A = 5 x ² − 3x + 1 B = 2 x ( x + 3) C = ( x − 1)² D = (3 x − 1)² − 4 x ² 3x + 1 E= x−2 2) Parmi les expressions suivantes, encadrer en rouge les sommes, en bleu les produits, en vert les différences de deux carrés, en noir les quotients : 3) x désigne un réel. Dans chaque cas, dire si l'expression donnée est : une somme, un produit, un carré, une différence de deux carrés André