Racine d'un nombre

Forme trigonométrique des nombres complexes Argument d’un nombre complexe non nul → → • Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, − u,− v ). z est un complexe non nul d’image ponctuelle notée M. M(z) On appelle argument de z toute mesure en radian de l’angle −−→ → orienté − u , OM . −−→ → → − u , OM (2π). arg(z) arg(z) = − v • Si θ0 est un argument de z, l’ensemble des arguments de z est → O − u l’ensemble des réels de la forme θ0 + 2kπ, k ∈ Z. z Détermination d’un argument. Si z est un

Forme algébrique des nombres complexes Partie réelle, partie imaginaire La forme algébrique d'un nombre complexe est a + ib où a et b sont deux réels. Si z = a + ib où a R et b R, a est la partie réelle de z, notée Re(z), et b est la partie imaginaire de z, notée Im(z). La partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe sont des nombres réels. Les réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle. Les imaginaires purs sont les nombres complexes dont la partie

et b deux complexes. a) Déterminer a et b pour que f(1+i) = -1+2i et f(3+2i) = 3+6i. b) Calculer alors f(i) et f(-1). Exercice2 : Pour tout complexe z on pose f(z) = z2 – 5iz –4. 1) Calculer f(i) ; f(1+i) ; f(3+5i/2)  et f(4i). 2) Soit  un nombre complexe ; déterminer en fonction de , les solutions de l’équation f(z) = f(). 3) Montrer que si z est imaginaire pur alors f(z) est réel. 4) Déterminer l’ensemble E des complexes z tels que f(z) soit réel. Exercice3 : a) Calculer les coordonnées

unknown file:///C:/Documents%20and%20Settings/lucie/Mes%20documents/Ar... COMPLEXES I) Définition 1) Forme algébrique Soit un point M du plan de coordonnées (x, y), l'affixe de M est le nombre complexe z=x+iy où i est le nombre imaginaire qui vérifie L'ensemble des nombres complexes est noté . ) . x+iy est la forme algébrique de z. (avec x et y x est la partie réelle de z : on la note x=Re(z) y est la partie imaginaire de z : on la note y=Im(z) z est aussi l'affixe du vecteur Exemple :

exercice afin d'éviter de compléter au dernier moment la solution d'un exercice à la fin d'un autre exercice, ce qui compliquerait la tâche du correcteur. • Vérifiez que vos résultats sont vraisemblables : une probabilité est un réel compris entre 0 et 1, une aire est un nombre positif, le module d'un nombre complexe est également positif, un vecteur ne peut être égal à son affixe, etc. Ne confondez pas le calcul intégral (le résultat d'un tel calcul est un réel positif ou négatif) et le calcul d'une

"Il y a des racines de tout' les formes Des pointues, des rond' et des difformes Cell' de la guimauve est angélique Et la mandragore est diabolique Il y a un Racin' qu'est un classique Mêm' s'il nous bassin' on n'y peut plus rien Mais la racine que j'adore Et qu'on extrait sans effort-eu La racine carrée c'est ma pré-fé-rée." Boris Vian et José Christian 1957 Une méthode très efficace pour calculer la racine carré de r est d'utiliser la suite récurrente u(n+1)= ( u(n)² + r) / (2*u(n))

Les nombres complexes – 1ère partie 1. L'ensemble des complexes 1.1. Le nombre imaginaire On notece nouveau nombre imaginaire qui n'est pas réel : Dans Maximaest noté %i Saisie Maxima Résultat %i; %i solve(x^2+1=0,x); [x=-%i,x=%i] %i^2; -1 sqrt(-1) %i est donc solution de l'équation. Dit autrement 1.2. Forme algébrique Un nombre complexe s'écrit sous la formeoùest le nombre complexe qui vérifie est la partie réelle de est la partie imaginaire de est appelé la forme algébrique

Étymologiquement, du grec « arithmos » le nombre. C’est une branche de l’algèbre générale, elle comprend la théorie des groupes et la théorie du nombre. Elle prend en compte les types de nombre et étudie l’impact des opérateurs sur ces nombres. Quelques noms Euclide d’Alexandrie Leonhard EULER Christian GOLDBACH Pierre de FERMAT Stéphan BOUSQUET Table des matières 1 OUTILS DE BASE 4 1.1 Les sous-entendus dans la notation 4 1.2 Diviseurs 4 1.3 Nombres premiers 4 1.4 Décomposition en produit

de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr RACINES CARREES (Partie 1) La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels (quotient de deux entiers). L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres irrationnels. Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable 2 qui étonne puis bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre indicible et jamais rencontré jusqu'alors

Chapitre 1 LES NOMBRES COMPLEXES 1.1 Introduction Dans ce chapitre comme dans la suite du polycopi´e, nous utiliserons les symboles suivants : 1. Symboles ensemblistes • ∈ : appartenance ; si E est un ensemble, x ∈ E se lit : “x appartient a` E”. • ⊂ : inclusion ; si E et F sont deux ensembles, F ⊂ E se lit : ”F est inclus dans E” ; il ne faut pas confondre ce symbole et le pr´ec´edent, le symbole d’inclusion sert uniquement a` comparer des ensembles ; ainsi la propri´et´e x ∈ E s’´ecrit