Racine d'un polynôme

2 1.1 Algèbre .......................................................................................................... 2 1.2 Équations ...................................................................................................... 3 1.3 Polynômes et fractions rationnelles .......................................................... 6 1.4 Nombres complexes.................................................................................... 9 1.5 Analyse ......................................

3 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Racines carrées, équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Argument et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Nombres complexes

irrationnels. Montrer que a + b est irrationnel. Exercice 7. Soit p(x) = entiers. n i=0 ai · xi . On suppose que tous les ai sont des 1. Montrer que si p a une racine rationnelle αβ (avec α et β premiers entre eux) alors α divise a0 et β divise an . √ √ 2. On considère le nombre 2 + 3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel. Indications 7. 1. Calculer β n p( αβ ) et utiliser le lemme de Gauss

trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 2 Racines du trinôme 2.1 Définition . . . . . . . . . 2.2 Le discriminant est positif 2.3 Le discriminant est nul . . 2.4 Le discriminant est négatif 2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 6 6 3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines 3.1 Factorisation du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Somme et produit des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Application

· · · + λn−1 ). Equations et racines n-ièmes Exercice 9 - Exponentielle - L1/Math Sup √ Posons z = a + ib, a, b ∈ R. Alors ez = ea eib . Ceci nous incite à mettre 3 3 − 3i sous forme trigonométrique. On obtient √ √ |3 3 − 3i| = 27 + 9 = 6. Il vient √ √ 1 3 −i 2 2 = 6e−iπ/6 . 3 3 − 3i = 6 On obtient alors a = 6 et b = −iπ/6 + 2kπ, k ∈ Z. Les solutions de l’équation sont donc les nombres complexes 6 + i π + 2kπ , k ∈ Z. 6 Exercice 10 - Racine carrée d’un nombre complexe - L1/Math Sup La

équivalente si : • on ajoute ou on soustrait un même nombre à chaque membre de l'équation • on multiplie ou on divise chaque membre de l'équation par un même nombre non nul Méthode de résolution En utilisant les propriétés ci-dessus on isole l'inconnue d'un coté de l'équation et on détermine sa valeur. Exemple : voir exercice dans l'activité 1: résoudre l’équation : −3 x−2=x3 • Étape 1 : on regroupe les termes en x et on réduit et on regroupe les termes sans x et on réduit – 3 x – x=32 – 4 x=5 Étape

second degré. DÉFINITION On appelle racine du trinôme f , tout réel qui annule f . Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 + 3x − 5, car 2(1)2 + 3(1) − 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c, revient à résoudre dans R l’équation ax2 + bx + c = 0. 2 Factorisation, racines et signe du trinôme : DÉFINITION On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c (a = 0), le réel ∆ = b2 − 4ac. 2-1 Si ∆ < 0 : Racines : Pas de racines réelles. Factorisation : Pas de factorisation

S4 Devoir surveillé n°8 – Eléments de correction Exercice n°1 : ( 2 points) 5 min Question de connaissances Année 2009 – 2010 Lundi 26 avril (1h) a) Quel théorème utilise-t-on pour calculer la limite d’une fonction polynôme en + ∞ ou − ∞ ? La limite d’une fonction polynôme en + ∞ (respectivement en − ∞ ) est égale à la limite en + ∞ (respectivement en − ∞ ) de son terme de plus haut degré. b) Quel théorème utilise-t-on pour calculer la limite d’une fonction rationnelle en + ∞ ou − ∞

qu’il faut résoudre. Pour cela, le but est de déterminer les valeurs que peuvent prendre les inconnues afin de satisfaire les conditions qui ont été posées par le problème. On note couramment la donnée inconnue par . La méthode consiste à isoler d’un côté de l’équation les termes contenant l’inconnue. Pour cela, on effectue de chaque côté de l’équation des opérations simples. Ensuite, on calcule tout ce qui est calculable en respectant les priorités de calcul. On peut alors obtenir le résultat

Lycée Camille SEE 03 octobre 2011 CONTRÔLE N O 1 1re ES 2 Durée 2 heures EXERCICE 1 (3 points) Rappel : Une fonction polynôme du second degré P est une fonction définie pour tout nombre réel x par : P(x) = ax2 + bx + c avec a = 0. 1. Soit f une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0. Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont exactes ? a) a > 0 et ∆ < 0. b) a < 0 et ∆ = 0. c) a < 0 et ∆ < 0. d) La courbe représentatve