Racine d'un polynôme

diff´rentes. e e D´finition 4 (Racine d’un polynˆme). Soit P un polynˆme. Le nombre r´el λ est appel´ e o o e e racine de P si la fonction polynˆme associ´e a P s’annule en λ. o e ` Proposition 2. Soit P un polynˆme. Le nombre r´el λ est une racine de P si et seulement o e si X − λ divise P . 3 On obtient comme cons´quence imm´diate de ce r´sultat que si P est de degr´ 2, P est e e e e irr´ductible si et seulement si P n’admet pas de racines r´elles. Rappelons qu’un polynˆme

de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation

z16 3 2 3 3 2 24 5 24 = = 201-016-50 Les polynômes Soit le polynôme suivant : −4x2 y3 − 6x2 y2 − 4xy + 5 . a) Quel est le terme constant ? b) Quel est le degré et quel est le coefficient du premier terme ? c) Quel est le degré et quel est le coefficient du deuxième terme ? d) Quel est le degré et quel est le coefficient du troisième terme ? e) Quel est le degré du terme constant ? f) Quel est le degré du polynôme ? Produit de polynômes Effectuer et simplifiez votre réponse s’il y a lieu:

Chapitre 1 : Second degré I. Fonctions polynômes du second degré Définition : On appelle fonction polynôme du second degré, ou plus simplement trinôme, toute fonction f définie sur de la forme f  x  = ax 2 + bx + c où a, b et c sont des réels appelés coefficients avec a  0 . Tableaux de variations : a >0 a <0 Courbes représentatives : a >0 a <0 Vocabulaire : Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole. Remarque : Cette parabole admet

Les polynômes A° Définitions : • Un monôme de variable x et à coefficient a est une expression de la forme a . xn dans laquelle a est un nombre réel non nul et n est un nombre naturel. • Le degré d’un monôme par rapport à une variable est l’exposant de cette variable dans le monôme. • Des monômes semblables sont des monômes qui ont la même partie littérale. • Des monômes opposés sont des monômes semblables dont les coefficients sont opposés. • Un polynôme est une

Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul. Première ES / L Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme) Deux polynômes sont égaux si et seulement

Fiche Révision n°1. Polynôme et équation du 2nd degré L'expression ax 2bxc est un polynôme du 2nd dregré. Pour résoudre l'équation du second degré ax 2bxc=0 où a, b et c sont des réels , a non nul, ou pour déterminer le signe de l'expression ax 2bxc , On calcule la quantité : Δ = b² – 4ac , (ce réel est appelé discriminant du trinôme ax 2bxc ). ax 2bxc=0 n'a pas de solution. Si Δ < 0 , l'équation n'a pas de racines réelles. L'équation On ne peut pas factoriser l'expression ax 2bxc

l’équation =0 sont appelées les racines du polynôme. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ Page 8 sur 18 7 September 2011 Chap 1. Second degré Première STI2D2 Théorème de factorisation o si riser o si ser o si dans . gaelle.buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ Page 9 sur 18 7 September 2011 alors il y a deux racines et et on peut facto- alors il y a une seule racine et on peut factori- alors le polynôme ne peut pas être factorisé

absurde, ` e e donc f est injective ! Exercice 2 Soient a, b, c ∈ U tels que a + b + c = 1. Montrer que l’un de ces trois complexes vaut 1. Solution 2 a, b, c sont les racines du polynˆme : o P = (X − a)(X − b)(X − c) = X 3 − (a + b + c)X 2 + (ab + ac + bc)X − abc = X 3 − X 2 + (ab + ac + bc)X − abc Il faut donc montrer que 1 est racine de P . Or P (1) = ab + bc + ac = abc i.e complexes de module 1 donc 1 a 1 1 1 + + = 1 Mais a, b, c sont des a b c = a. Et donc : ¯ 1 1 1 + + =a+b+c=1 a b c

positifDonc son signe est : x | | 5x + 7 | - 0 + | | 2) Dresser le tableau de signe de l’expression : Δ &gt; 0 donc le polynôme s’annule pour deux valeurs de x : et Le coefficient de x² est strictement positif donc le signe de 5x² + 8x – 4 est : x | -2 | | + 0 -