Raisonnement par récurrence

(na) = (\exp a)^n Démonstration de la propriété 2 : * \exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} \exp(a - b) = \exp[a + (-b)] = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} * \exp(na) = (\exp a)^n} (On procède par raisonnement par récurrence) a \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{Z} Pour n = 2, \exp(2a) = \exp(a + a) = \exp(a) \times \exp(a) = [\exp(a)]^2} Pour n = 3, \exp(3a) = \exp(2a + a) = \exp(2a) \times \exp(a) = [\exp(a)]^2 \times \exp(a) = [\exp(a)]^3} Pour n \in

définie et : 1 3 pn + ; CQFD ! 5 5 n → ∫ ∫ b a ( uv ) ' ( x ) dx = ∫ ( u ' v + uv ' )( x ) dx = ∫ ( u ' v )( x ) + ( uv ' )( x ) dx a a b b 3 13 1 5. Pour tout entier naturel n non nul, pn = −   : Effectuons un raisonnement par récurrence ;   4 45 Appelons Pn la propriété : « pn = • • Initialisation : p1 = 0,1 et = ∫ b a ( u ' v )( x ) dx + ∫ ( uv ' )( x )dx a b b d’après le premier prérequis ; 3 13  1  −   »; 4 45 3 13  1  3 13 1 3 13

la fraction rationnelle: = − − + − 3 ) Dans cette question, on se propose d’utiliser les résultats ci-dessus pour déterminer la limite de la suite (Un) définie pour tout entier ≥ par : = a ) Montrer, par exemple en utilisant un raisonnement par récurrence que : = = = + b ) Justifier, pour tout entier = = ≥ l’égalité : = c ) En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : = + − − d ) A partir du résultat précédent, déterminer : →+∞ puis la limite de

1 , f ' (x ) ≥ 0 et f est croissante sur [0 ; 1]. . Par suite, pour b) On traduit la question posée. On est donc amené à démontrer que pour tout n, 0 ≤ un ≤ 1 et un +1 ≤ un . On peut démontrer par récurrence chacune de ces deux propriétés ou bien ne faire qu’un seul raisonnement par récurrence en montrant que pour tout n, 0 ≤ un +1 ≤ un ≤ 1 . Prenons ce deuxième point de vue. u + 1 1+ 1 1 On a u 0 = 1 et u1 = 0 = = donc on a 0 ≤ u1 ≤ u 0 ≤ 1 . u 0 + 3 1+ 3 2 Supposons que pour k ∈» on ait 0

3 - 5 ˆ ˙ = Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜ 5 ÍÎË 2 ¯ Ë 2 ¯ Ë 2 ¯ Ë 2 ¯ ˙˚ 2 2 Ê1 + 5 ˆ 3 + 5 Ê1 - 5 ˆ 3- 5 Or Á et Á . = = ˜ ˜ Ë 2 ¯ Ë 2 ¯ 2 2 D’où uk + 2 k +2 k +2 È Ê1 - 5 ˆ ˘ 5 ÍÊ 1 + 5 ˆ ˙. = -Á Á ˜ Ë 2 ˜¯ ˙˚ 5 ÍÎË 2 ¯ Conclusion D’après le principe de récurrence, comme P(0) et P(1) sont vraies, on peut conclure que pour tout nombre n n È Ê1 - 5 ˆ ˘ 5 ÍÊ 1 + 5 ˆ ˙ entier naturel n, un = Á ˜ ÁË ˜ . 2 ¯ ˙˚ 5 ÍÎË 2 ¯ un +1 = 1, 618 034. un 3. a) On note P(n) la propriété : n n È Ê1 - 5 ˆ ˘ 5 ÍÊ 1 + 5 ˆ ˙ « un

a donc démontré par récurrence que pour tout n ∈ N, un − 1 > 0. b. • Décroissance de la suite : soit un+1 −un = − 2 un − 2un + 1 3. Or un − 1 > 0 ⇐⇒ un > 1 La suite étant minorée par 1 et décroissante converge vers une 4ℓ − 1 limite ℓ 1 et par continuité de la fonction f , on a ℓ = équation dont la seule solution ℓ+2 est ℓ = 1. La suite (un ) converge vers 1. 1 1 a. On a v n+1 − v n = − . un+1 − 1 un − 1 3(un − 1) , donc Or on a vu ci-dessus (démonstration par récurrence) que un+1 − 1 = un

: [pic]. Démonstration par récurrence : • Initialisation : [pic] La propriété est donc vraie pour n = 1. • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : [pic]. - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : [pic]. [pic] [pic] • Conclusion : La propriété est vraie pour n = 1 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier

= 0 qui est vrai quel que soit t ∈ R. Ceci signifie que tout point de ∆ appartient à P 3 . Conclusion : P 1 ∩ P 2 ∩ P 3 = ∆ E XERCICE 2 Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 1. Mise en évidence d’une relation de récurrence 2 3 2 a. On a p (E 1 ) = , p E 1 (E 2 ) = et p E 1 (E 2 ) = . 5 5 5 D’après la formule des probabilités totales appliquée à E 1 et à E 1 : 5 points p (E 2 ) = p (E 1 ∩ E 2 ) + p E 1 ∩ E 2 = p (E 1 ) × p E 1 (E 2 ) + p E 1 × p E 1 (E 2 ) =

indéterminée (de type l’infini sur l’infini) Exercice 2 Soit u la suite définie par un= 2n-n3n, n∈ℕ Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , 2n-n est positif. En déduire un minorant de la suite u. On a : 20-0>0 Posons comme hypothèse de récurrence que, pour une valeur donnée de n on a : 2n-n>0. On a : 2n+1-(n+1)=2×2n-n-1=2n-1+2n-n Or, d’après l’hypothèse de récurrence, 2n-n>0. Donc 2n-1+2n-n>2n-1≥0 car (2n) est une suite géométrique croissante de premier terme 1. Donc

savoir en trouver la limite lorsque n devient très grand. Mais vous allez aussi savoir transformer les suites définies par récurrence en suites explicites. Ce sera l’objectif n°1 du chapitre : connaitre les techniques pour obtenir rapidement des résultats sur les suites définies par récurrence. Vous connaissez trois techniques pour y arriver : la preuve par récurrence, la convergence monotone et le passage par une suite intermédiaire usuelle. Vous les retrouvez au menu en vidéos et sous forme