Raisonnement par récurrence

solution de l’équation différentielle : y ' + y = f0. b) Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la solution de l’équation différentielle y ' + y = fn–1 vérifiant fn(0) = 0. xn –x En utilisant la Partie I, montrer par récurrence que, pour tout x réel et tout entier n ≥ 1 : fn(x) = e . n! 2. Pour tout entier naturel n, on pose: In = ⌠10 fn(x) dx. (on ne cherchera pas à calculer In) ⌡ a) Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 1], l’encadrement

[pic], de [pic] en fonction de n (de façon plus ou moins complexe, avec éventuellement des sommes ou des conditions…) • Définition récurrente : - récurrence « simple » : [pic] est telle que : [pic] (Problème de définition éventuelle, dépend de f. On peut résoudre ce problème par récurrence) - récurrence « double » : [pic] • Définition implicite. Par exemple : « pour [pic], [pic] est la solution réelle positive de l’équation [pic] ».

−10t . 5 ( ) ( ) 5 5 x ∞ 3 −10t 3 3 Déterminer tlim i( t) . Comme i t =− e  , on a alors lim i t = →+∞ 5 EXERCICE II 1 3 1) u1 = , u2 = et u3 = . 2 3 2 4 2) Démonstration par récurrence : Initialisation : la propriété est vraie pour n=0 : u0=0. Hypothèse de récurrence : on suppose que la propriété est vérifiée pour un entier k : uk = uk +1 = k k +1 3) 1 1 1 k +1 = = = k 2k + 2 − k k + 2 :la propriété est donc vérifiée au rang suivant k+1 donc pour tout entier

75 2 15 E XERCICE 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité n 5 points Sn = p 3 . On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le plus p=1 grand commun diviseur de Sn et Sn+1 . 1. Démonstration par récurrence : 1(1 + 1) 2 = 1. 2 n(n + 1) 2 . – Hérédité : supposons qu’au rang n, Sn = 2 2 n(n + 1) n2 Donc Sn+1 = Sn + (n + 1)3 = + (n + 1) = + (n + 1)3 = (n + 1)2 2 4 – Initialisation : pour n = 1, S1 = 13 = 1 et 2 juin 2005 La Réunion Baccalauréat

FORMULE D'INVERSION DE PASCAL         ¡ Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc

pas suivi l’enseignement de spécialité 1. a. u2 = 1 9 3 ×3− ×0 = ; 2 2 2 3 9 1 27 3 21 u3 = × − × 3 = − = ; 2 2 2 4 2 4 3 21 1 9 63 9 45 u4 = × − × = − = . 2 4 2 2 8 4 8 3 5 points Métropole éventé le 19 juin 2009 b. Démonstration par récurrence : 1 1 Initialisation : u1 = 3 = × u0 + 3 = × 0 + 3 est bien vraie ; 2 2 1 Hérédité : supposons qu’il existe p ∈ N tel que u p+1 = u p + 3. 2 1 1 Or u p+1 = u p + 3 ⇐⇒ u p+1 − 3 = u p ⇐⇒ u p = 2 u p+1 − 3 (∗) 2 2 1 3 1 1 1 9 3 up + 3 − up = up +

tout entier naturel n : On pose encore : et . On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : . En effet : c) Soit une suite numérique définie par une relation de récurrence d'ordre 2 : , et . On pose pour tout entier naturel n : On pose encore : . On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : . En effet, 2) Terme général d'une suite de matrices Propriété : Soit une suite de matrices colonnes de

i , j ) du plan 4°) Conjectures graphiques concernant le sens de variation et la limite de ( un ) ( un ) semble strictement croissante et semble converger vers 2 5°) Validation des conjectures a) n  1, un  1; 2 Démonstration par récurrence Soit Pn : 1  un  2 . Montrons que : a) P1 est vraie b) n  1,  Pn  Pn1   Pour a) : Initialisation (pour n  1 ) On a bien 1  u1  2 (Car u1  1 par hypothèse)  Pour b) : Hérédité Soit n  1 un entier naturel vérifiant 1  un  2 Montrons

une somme. En effet, si un = k=n k =0 !v k alors un+1 ! un = vn+1 il suffit alors d’étudier le signe de vn+1. 1.2.3. Technique par récurrence. Pour montrer que (un) est décroissante par exemple on vérifie que u0 ≤ u1 puis on suppose que un ≤ un+1 et l’on montre qu’alors un+1 ≤ un+2 . On conclue alors grâce au principe de récurrence. !u = 2 # 0 Exemple : Soit (un) définie par " . #un+1 = un $ Notons P(n) la propriété 0 < un+1 < un . On a u0 = 2 et u1 = 2 , donc 0 < u1 < u0. P(0)

L’algorithme no 3 calcule tous les termes de 0 à v n et les affiche tous. 2. D’après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à n = 9), il semblerait que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3. 3. a. Montrons par récurrence la propriété P n : 0 < v n < 3 pour tout entier naturel n. Initialisation : n = 0, on a bien 0 < v 0 < 3 vraie, puisque v 0 = 1 ; ainsi P 0 est vraie. Hérédité : Supposons P n vraie, montrons alors que P n+1 est vraie. On suppose donc que 0 <