Raisonnement par récurrence

(  Hérédité Hypothèse de récurrence : u wn  n vn a) On peut donc conjecturer que pour tout entier naturel non nul, Prouvons ceci par récurrence :  ) en posant, pour tout entier naturel n : , . Soit ( ) : « ( ) , tel que ( ) soit vraie, c’est-à-dire tel que . On a alors : et . . HR : Donc ( ) est vraie.  Conclusion La propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire. Donc, d’après le principe de récurrence, ( ) est vraie pour tout entier

(vn) suivantes : 1) vn = (-1)n + 1 2) vn = -3×2n -2n 3) vn = 3×  + 5 3 -5n+1 4) vn =   3 Exercice 4 Démontrer par récurrence la formule : 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6. Exercice 6 Soit x un nombre réel positif. 1) Démontrer par récurrence sur n que, pour tout n entier naturel, 1 + nx ≤ (1 + x)n 2) Proposer une autre démonstration de ce résultat. 1 Terminale S Exercices

démontrer uniquement qu'il est divisible par 5.  On va se servir de quatre méthodes différentes.      1ère Méthode : par récurrence  Pour  : vraie  Supposons que la relation soit vraie au rang , soit :   Démontrons qu'elle est vraie au rang , soit  est un multiple de 5.  On a   . Cette dernière expression montre que la relation est vraie au rang .  Le principe de récurrence permet de conclure.      2ème méthode : les congruences  On étudie les valeurs possibles pour le reste dans la division

ku' Page 5/7 Cours de Mathématiques – Classe de Première S – Chapitre 6 : La dérivation des fonctions → Démonstration Exemples ( x sin x  )' = ( 2 x 1cos  x  )' = 1 (  x – 3∗ )' = x Conséquence  x n ' = n x n−1 → Démonstration par récurrence Exemples :  x '= ? 3x 7 '= ? x8  ' = ? 8 1  4 ' = ? x 1   '= ? x 5 3) Inverse  → Démonstration (faire faire) Exemples : 1  2 ' = ? 3 x −1 1   '= ? sin  x  1 −v ' = 2 v v ' 4) Quotient  → Démonstration :

avec corrections • Chapitre 3. Les variables aléatoires de loi continue (60 pages) Exercices avec corrections Thème 2: Chaîne de Markov (environ 4 séances) • • • • • Matrice de transition et classification des états. Stabilité, récurrence et périodicité. Loi stationnaire. Probabilités d'absorption. Les chaînes de Markov apparaissent régulièrement en finance (modélisation de l'évolution de titres en Bourse), en économie et dans bien d'autres domaines liés à la gestion. • L'étudiant

Exo7 Logique et raisonnements Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements Quelques motivations – Il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons l’exemple de la conjonction « ou » ; au restaurant « fromage ou dessert » signifie l’un ou l’autre mais pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche « les as ou les cœurs » alors il ne faut pas exclure l’as de cœur. Autre exemple

que (∀x ∈ R∗) : √ x2 + 1 6= 1 + x2 2 3) Montrer que : (a) √ 2 /∈ Q (b) √ 3 /∈ Q (c) √ 6 /∈ Q (d) √ 2 + √ 3 /∈ Q s.m www.daoudmath.comExercice 5 "Récurrence" a) x un réel positif.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : (1 + x)n > 1 + nx. b) Démontrer par récurrence que pour tout n de N : 13 divise 16n − 3n . c) Démontrer par récurrence que pour tout n de N∗ : i) n∑ k=1 k = 1 + 2 + 3 + ......+ n = n(n+ 1) 2 ii) n∑ k=1 k4 = 1 + 16 + 81 + ...+ n4 = n(n+ 1)(6n3 + 9n2 + n− 1) 30 s.m

Chassignet nous donne dans ce poème une véritable « définition Baroque » de la vie. Il s’agira tout d’abord de montrer que l’on observe des structures et des phénomènes de récurrence significatifs pour ensuite exalter l’expression de la vie associée à un songe. Ce qui nous dévoile ces structures et ces phénomènes de récurrence significatifs, c’est d’abord des constructions récurrentes et ensuite de nombreux phénomènes de répétition. Ce sonnet frappe en premier lieu par ses constructions récurrentes :

SUITES NUMERIQUES I. Le raisonnement par récurrence 1. Pourquoi un tel raisonnement ? Soitla propriété «est un multiple de» Comme, alorsest vraie. De même, doncest vraie et, doncest vraie. Maisest-elle vraie pour tout entier naturel? Pour le vérifier, il faudrait procéder à une infinité de vérifications, ce qui est impossible. Le raisonnement par récurrence permet de conclure en deux étapes. L'idée du raisonnement par récurrence peut être imagée ainsi : Si l'on peut se placer sur le barreau

synonymies classiques . . . . . . . . . . . 1.1.7 Conditions nécessaires et/ou suffisantes . . . . . . Raisonnements classiques . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Conseils appuyés pour bien rédiger . . . . . . . . . 1.2.2 Quelques figures usuelles du raisonnement . . . . . 1.2.3 L’axiome de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . 1.2.6 Résolutions d’équations ou d’inéquations . . . .