Raisonnement par récurrence

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de cours au sujet des suites 1 1. 2. QCM divers, La Réunion 2005 2 1. 3. QCM, Antilles remplt 2007 2 1. 4. ROC+VF justifié, France 2010, 5 pts 3 1. 5. VF justifié, Polynésie, nov 2010, 3 pts 3 1. 6. Raisonnement par récurrence 1 4 1. 7. Raisonnement par récurrence 2 4 1. 8. Raisonnement par récurrence 3 5 1. 9. Géométrique 1 5 1. 10. Géométrique 2 : des sous 6 1. 11. Nombres de Fermat 6 1. 12. Somme de termes 6 1. 13. Les lettres de Gaston 6 1. 14. De Mesmaeker 7 1. 15. Définition de la limite d’une

explicite : Exemple : ; forme ; f définie par ; La représentation graphique d’une suite définie par est l’ensemble des points de la courbe d’équation ayant une abscisse entière. b) Par une relation de récurrence : Exemple : Forme Calcul de 2. Représentation graphique d’une suite définie par récurrence Exemple 1 : . est une fonction affine. Sa représentation graphique est la droite d’équation . ; ; f définie par 2 ; ; ; ; On peut conjecturer que (en effet tous les termes de 2). Exemple

déduire une solution particulière de l'équation (E') : 91 x + 10 y = 412. c) Résoudre (E'). 2° Montrer que les nombres entiers An = 32 n – 1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8 (une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence). 3° On considère l'équation (E") : A3 x + A2 y = 3 296. a) Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation (E"). b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer.

Méthodes Ch 2 : Démonstration par récurrence – Suites numériques Devant un exercice lié à une suite (un) . Se demander quel est le premier terme, comment il se note . Calculer d’abord quelques termes ( écrire éventuellement des approximations décimales ) Quelle est la question posée ? A – Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique B – Calculer un en fonction de n C – Etudier les variations de (un) D – Calculer la somme de termes consécutifs E – Etudier le comportement de

EXERCICES MPSI II. 1) NOTATIONS R. FERRÉOL 13/14 A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME ET 1. : Sommes des puissances p-ièmes des n premiers entiers. n n n n n(n + 1) Posons : an = k= ; bn = k2 ; cn = k3 ; dn = k4 . 2 k=1 k=1 k=1 k=1 n (a) En remarquant que cn+1 = 3 (k + 1) , montrer que cn+1 = cn + 3bn + 3an + n + 1 ; en déduire la valeur de bn . k=0 (b) Montrer de même que dn+1 = dn + 4cn + 6bn + 4an + n + 1 ; en déduire la valeur de cn . 2 n (n + 1) (2n + 1) n(n + 1) ; cn = Rep : bn = 6 2

de racines entières puisque P ne s’annule pas en 0 déjà, ni en les diviseurs de 10 : ±1; ± 2; ± 5; ± 10 . EXO 02. REM : contentez vous d’utiliser les propriétés vues en cours pour répondre aux questions : le théorème de Bézout et le raisonnement par récurrence (bien mené en général) n’en font pas partie. Apprenez à manipulez les propriétés simples avant de faire appel à des résultats dont vous ne soupçonnez pas la « puissance »... C’est un peu comme si pour prouviez que x 2 = 4 ⇔ x ∈ {−2;

candidats l’existence des bases nécessaires pour des études supérieures de management. Apprécier l’aptitude à lire et comprendre un énoncé, choisir un outil adapté et l’appliquer (théorème…). Apprécier le bon sens des candidats et la rigueur du raisonnement. Sujets Trois exercices indépendants portant sur les trois domaines du programme Instruments de calcul interdits, tables de lois fournies. Evaluation Exercices de valeur sensiblement égale. EPREUVE 2009 Durée : 4 heures Les candidats sont

(détails) Rappel (raisonnement par récurrence) Pour n ∈ N Pn est une propriété qui peut être vraie ou fausse. Si P0 est vraie et si lorsque Pn est vraie alors Pn +1est encore vraie, Pn est vraie pour tout entier n. Pour vérifier que Pn est vraie pour tout entier n on vérifie que : 1) P0 est vraie 2) si Pn est vraie (hypothèse de récurrence) alors Pn +1 est encore vraie. Définition par récurrence de la puissance nième d’une matrice Si A est une matrice 2 × 2 , A n est définie par récurrence : P n est la

Terminale S Décembre 2008 Mathématiques Durée : 4 heures La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. EXERCICE 1 (5 points) - Commun à tous les candidats - On considère le plan P rapporté à un repère orthonormal direct. P\{O} désigne le plan P privé du point O. 1. Restitution organisée des connaissances On prend comme pré requis les résultats suivants : Si z et z’ sont des nombres complexes