Récurrence transfinie

linéaires. 1 Généralités Dans cette partie K désigne indifférement le corps des réels ou celui des complexes. Définition 1. Soit (a, b) ∈ K × K∗ . Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 est une suite (un )n∈N qui satisfait la relation de récurrence pour tout n ≥ 0 : un+2 = aun+1 + bun . Théorème 1.1. Soient (a, b) ∈ K × K∗ et l’ensemble La,b de suites récurrentes linéaires d’ordre 2 : La,b = {(un )n∈N ∈ KN | ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun }. L’ensemble La,b est un K-espace vectoriel de dimension

rétroaction linéaire de longueur L . Définition 2 Les bits (s 0 , . . . , s L−1 ) qui déterminent entièrement la suite produite constituent l’état initial du registre. La suite (s n )n≥0 produite par un LFSR de longueur L est donc une suite a récurrence linéaire homogène d’ordre L . Inversement, ce type de suite peut toujours être produite par un LFSR. On peut remarquer qu’une telle suite est ultimement périodique, c’est-à-dire qu’il existe une pré-période n 0 telle que la suite (s n )n≥n 0

multiplicateur n’est pas constant : la consommation ne peut pas être modélisée par une suite géométrique. 2 b. Les dates sont espacées de la même durée de 10 ans. • 8 − 10 = −2 et 6,4 − 8 = −1,6 . Activité QCM – Établir une relation de récurrence D QCM – Interpréter un algorithme Réponse b. Tableau de suivi des valeurs des variables lorsque A vaut 5. A B C 5 Initialisation 5 0 1 1 2 Traitement 5 2 4 (tant que C Ͻ A) 3 8 Sortie 5 3 8 1 Estimer une population

permet d’introduire la notion de suite arithmético-géométrique. Les élèves sont conduits à utiliser la calculatrice en mode RECUR pour les Casio, SEQUENTIEL pour Texas, afin de déterminer les 20 premiers termes de la suite définie par une relation de récurrence et répondre ainsi à la dernière question de l’exercice. 1. S0 = 10 000 ; S1 = 13 400 ; S2 = 16 936 ;  S3 = 20 613. Cette suite n’est ni arithmétique, ni géométrique. 2. a. La relation Sn+1 = (1,04)Sn + 3 000 se déduit aisément de l’énoncé : intérêts

entiers naturels. (Principe de récurrence.) C’est là, en l’essence, la définition des entiers naturels selon Peano (axiomes de Peano). On appellera « finie » une quantité (positive)1 qui est inférieure à un certain entier naturel, et, a contrario, « infinie » une quantité qui est supérieure à tous les entiers naturels (reste à voir ce que cela veut dire). Notons que « fini » ne signifie pas pour autant « petit », comme on va le voir dans un instant. En procédant par récurrence, on voit que si m et n sont

nombres de Fermat n Fn = 22 + 1 où n = 0, 1, 2, . . . Nous allons montrer que deux nombres de Fermat (distincts) sont premiers entre eux ; en conséquence, il doit y avoir un nombre infini de nombres premiers* . À cet effet, vérifions la formule de récurrence : n−1 k=0 Fk = Fn − 2 (n ≥ 1) F0 = 3 F1 = 5 F2 = 17 F3 = 257 F4 = 65537 F5 = 641 × 6700417 Les premiers nombres de Fermat à partir de laquelle on déduit immédiatement notre assertion. En effet, si m est, par exemple, un diviseur de

sont tous de la même couleur. PREUVE : Montrons par récurrence la phrase : « n objets sont toujours de la même couleur. » Pour n = 1, c’est évident qu’un objet est de sa même couleur. Supposons que n objets soient toujours de la même couleur, et considérons n + 1 objets. D’après l’hypothèse de récurrence, les n premiers objets sont de la même couleur, et les n derniers aussi. Les n+1 objets sont donc de la même couleur, ce qui achève la récurrence. n objets quelconques sont donc toujours de la même

différentielles et notamment de la théorie du potentiel, des fonctions harmoniques. Fuchs étudie les singularités des solutions des équations différentielles ordinaires linéaires.Émile Picard découvre le procédé d'intégration des équations différentielles par récurrence, ce qui permet de prouver l'existence et l'unicité des solutions. Cela débouchera sur l'étude des équations intégrales (Ivar Fredholm, Vito Volterra...). • Bien qu'engagée par Laplace et utilisée sporadiquement par d'autres au cours du siècle, la

Elément 1 : Théorie des ensembles. Semestre 1 1. L'univers ensembliste; notion cantorienne d'ensemble; ensembles et classes; la hiérarchie cumulative. 2. Théories de Zermelo et de Zermelo - Fraenkel. 3. Ordinaux et récurrence transfinie. Cardinaux. 3. Arithmétique des ordinaux et des cardinaux. 4. Formes équivalentes de l'axiome du choix. Bibliographie : K.J.B. Devlin, The joy of sets : Fundamentals of contemporary set theory. Springer, 1993. H.B. Enderton, Elements

inductance n. (électr., instr.), inductance f., ~ measuring bridge (électr., instr.), pont de mesure d’inductances inductile adj. (métal.), non-ductile inductility n. (métal.), non-ductilité f. induction n., 1. (math.) induction f., raisonnement m. par récurrence; 2. (électr.) induction f.; ~ bulb (lamp) (électr.), ampoule à induction, ~ coil (électr., instr.), bobine d’induction, ~ flowmeter (électr., instr.), débitmètre magnétique, débitmètre à magnétohydrodynamique, ~ generator (électr., instr.), génératrice