Récurrence transfinie

fonction aussi des questions posées. On peut considérer en terminale que l’on a trois types d’exercices suivant que l’on travaille avec : ( ) avec n entier naturel  Une suite définie par une formule explicite :  Une suite définie par une relation de récurrence : ( )  Des suites adjacentes. Comme toujours les outils que l’on utilise sont les définitions, les propriétés ou théorèmes vus en cours, il est nécessaire de parfaitement les connaître ! Comment étudier une suite arithmétique ou géométrique ?

EXERCICE 1 enseignement obligatoire 1. Soit la suite (un) définie par u1 = 1 2 et par la relation de récurrence : un+1 =16un + 1 3 . a. Soit la suite (vn) définie pour n >1 par vn = un − 2 5 ;montrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison. b. En déduire l’expression de vn en fonction de n puis celle de un. 2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces

+ 2) (n + 3) 2 (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n + 1) (3 (n + 1) + 5) (n + 1) (3n + 8) ′ = = Sn+1 2 (n + 1) (n + 2) (n + 3) 2 (n + 2) (n + 3) 2 Donc Hn+1 est encore vraie. Ainsi, Hn est fondée et héréditaire, elle est donc, d’après le principe de récurrence, vraie pour tout entier n non nul. 3) (a) Une simple vérification : 1 1 k+2−k 2 − = = k k+2 k (k + 2) k (k + 2) (b) La somme Sn va, à l’aide de la décomposition précédente, devenir télescopique : n Sn = k=1 n 2 = k (k + 2) 1 − k n n

Pour une suite numérique (Un), on appelle Un le terme de rang n de la suite. Une suite peut ainsi être définie : directement par son terme général Un ; celui-ci est alors défini en fonction de n par une relation [pic] ; par une relation de récurrence qui permet de passer d'un terme de rang n au terme de rang suivant [pic] et par la donnée de son premier terme U0 (si la suite est définie à partir du rang 0). Cette méthode nécessite de calculer tous les termes, jusqu'au terme de rang demandé.

algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année . On complète la boucle pour avec la relation de récurrence permettant de calculer les termes successifs de la suite :

Séquence 1 Les suites numériques Sommaire 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Dans cette séquence, il s’agit d’une part d’approfondir la notion de suites numériques permettant la modélisation d’un certain nombre de phénomènes discrets et d’autre part, à travers l’étude des limites de suites, de préparer la présentation des limites de fonctions. Séquence 1 – MA02 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Généralités sur

corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (u_n)_{n \in \N} à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante : \forall n\in\N,~u_{n+1}=a u_n+b. Remarque. On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)n ≥ n0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p1. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n0 si

pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année . On complète la boucle pour avec la relation de récurrence permettant de calculer les termes successifs de la suite : 3.a. Résoudre l'inéquation . On remarquera qu'on a changé le sens de la dernière inégalité quand on a divisé par car puisque . et comme est un entier on conclut que l'ensemble

qui est la notation la plus courante. ( ) désigne une suite désigne un nombre est le terme général de la suite ( ), le terme de rang n ou le terme d’indice n. est le terme initial de la suite ( ) Si deux suites ont la même relation de récurrence et le même premier terme alors ces deux suites sont égales. Une suite ( ) est croissante lorsque pour tout entier n : < Une suite ( ) est décroissante lorsque pour tout entier n : > Une suite ( ) est constante lorsque pour tout entier

n = 0, 5p n + 0, 2. 2. b. On en déduit que p n = v n + 0, 4 = p n = 0, 4 + 0, 2 × 0, 5n . n→+∞ a. On peut écrire par exemple la relation de récurrence précédente p n+1 = 0, 5p n + 0, 2 ⇐⇒ p n+1 − 0, 4 = 0, 5p n + 0, 2 − 0, 4 ⇐⇒ p n+1 − 0, 4 = 0, 5p n − 0, 2 ⇐⇒ p n+1 − 0, 4 = 0, 5 p n − 0, 4 ⇐⇒ v n+1 = 0, 5v n . Cette relation de récurrence montre que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 0, 5. On en déduit que v n = v 1 × 0, 5n . Or v 1 = p 1 − 0, 4 = 0, 5 − 0, 4 = 0, 1. Donc