Réduction d'endomorphisme

17 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications On utilise les mêmes notations qu'au chapitre 16. Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynôme caractéristique sont supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier

Pavé de biche aux marrons et champignons à la crème * 6 pers. Moyen 55mn * 6 pavés de biche de 125 g chacun * 600 g de champignons de Paris * 30 g de beurre * 30 cl de crème fraîche liquide * 1 Marmite de bouillon de légumes Knorr * 200 g de châtaignes cuites au naturel (en conserves ou sous vide) * Huile de tournesol Sortir les pavés 30 minutes à l'avance et les poser sur une grille. Nettoyer les champignons de Paris, couper la partie terreuse et ligneuse des

Polynômes factoriels On note ℝ [X ] la ℝ algèbre des polynômes réels en l’indéterminée X . Pour n ∈ ℕ , ℝ n [X ] désigne le sous-espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆

Exercice I 1) Le calcul du déterminant donne : det(v1 , v2 , v3 , v4 ) = −230 = 0 , donc la famille (v1 , v2 , v3 , v4 ) est libre. Etant de cardinal 4 dans l'espace E de dimension 4, elle l'engendre ; c'est donc bien une base de E . 2) Déterminons tout d'abord l'orthogonalisée (w1 , w2 , w3 , w4 ) de B . On a : w1 = v1 = (1, −2, 0, 0) , w2 = v 2 − (v2 |w1 ) w1 (w1 |w1 ) −10 )(1, −2, 0, 0) = (0, 5, 3, 3) − ( 5 = (2, 1, 3, 3) , w3 = v3 − (v3 |w1 ) (v3 |w2 ) w1 − w2 (w1 |w1 ) (w2

GL2 (Z) Diagonalisation : résumé MOSE 1003 COMMENT DIAGONALISER UNE MATRICE 2 × 2 EN 6 ÉTAPES Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2 A= 1. A est diagonale si A = a b , c d λ1 0 ; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A −

khvk ASR GSITR NOV Valeurs propres et vecteurs propres des matrices L'objet "matrice 2x2"(rappel) 2 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice 2x2 3 Vecteur propre associé à une valeur propre 4 Valeurs propres de matrices particulières 5 Vecteurs propres associés à une matrice diagonale 6 Matrice de passage d’une matrice à 2 valeurs propres 7 Matrice inversible (rappel) 8 La matrice de passage est inversible 9 La puissance d’une matrice à deux valeurs propres

DM 4 1S 2014-2015 Un problème digne d’attaque prouve sa valeur en ripostant. Piet Hein (1905-1996) Soit n un entier naturel non nul. On se propose de calculer en fonction de n les sommes suivantes : k=n k=n k=n k=1 k=1 k=1 k3 k 2 et S3 = 13 +23 +33 +· · ·+n3 = k, S2 = 12 +22 +32 +· · ·+n2 = S1 = 1+2+3+· · ·+n = Calcul de S1 On considère la fonction trinôme du second de degré f1 définie par f1 (x) = x2 x − . 2 2 1. Calculer f1 (1). 2. A l’aide

Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison Exercice 1 Soient a, b, c des réels vérifiant a2 + b2 + c2 = 1 et P la matrice réelle 3 × 3 suivante :   2 a ab ac P = ab b2 bc ac bc c2 1. Calculer le déterminant de P. 2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace

Exercices - Matrices : corrigé Autour du produit Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE. Seules les matrices D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique. Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve : AB = 0 0 0 0 , 0 0 0 0 BA = . En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls

faire relooker. La réduction du coût est généralement à envisager en plusieurs étapes : 1. pour la première phase de 80 % des coûts engagés on peut envisager un coût standard cible plus faible que celui du budget estimé ; 2. pour la seconde phase, on va contrôler rapprocher les coûts réels, le plus possible des coûts cibles. Cette maintenance du coût est nécessaire pour que les conditions réelles de fabrication et de distribution ne gaspillent pas les gains de productivité sur réduction de coûts. Selon