Repère affine

ATHÉMATIQUES Durée : 3 heures PREM&RE COMPOSITION (Option générale) Concours commun INA-ENS! Le problème a pour objet I'étude de I'tquation différentielle (€1 xy' + y = - . 2 1 +x 1 Dans la partie 1, on étudie et on construit dans un repère orthonormé d'axes Or, Oy les courbes intCgrales de (El. Dans la partie II, on étudie une primitive de l'une des solutions de (€1. PARTIE 1 t t u d e des courbes intCgrales de (El. 1. IntCgrer 1'Cquation diffkrentielle (El sur I-ap,OI

fondamentale de la dynamique à notre système. On note  la masse de la Terre,  la masse du Soleil et r est la distance séparant leur centre d'inertie. La seule force s'exerçant sur la Terre est la force de gravitation universelle : Dans la base du repère que l'on va attacher à la terre : Selon  : la force de gravitation étant radiale, elle n'a pas de composante sur cet axe :  Selon  :      d'où    L'accélération du centre d'inertie de la planète Terre est radiale, centripète et indépendante de

tous les poins de ce solide ont la même vitesse.  Définition : Un M.T.R.U se réalise sans accélération (γ=0m/s2) et avec une vitesse  constante au cours du temps.   x(t) Étudions une voiture qui roule à vitesse  constante sur une autoroute rectiligne.  x0 Origine du repère O Instant t0 x Instant t   Soient :  t0 : instant initial (en s);  x0 : le déplacement initial (en m), à t=t0 ;  v0 : la vitesse initiale (en m/s);  x(t) : le déplacement x (en m) à l’instant t.  γ(t) : gamma : m/s²    Attention dans ce cas x(t) ≠ 0 à l’instant t0 

continuité et les diérents types de diérentiabilité (dérivée directionnelle, Gâteaux-diérentiabilité, Frêchet-diérentiabilité) ; et nous terminerons par une étude des extréma d'une fonction convexe. 3 Chapitre 1 ENSEMBLES CONVEXES SUR UN ESPACE AFFINE REEL 1.1 Dénitions et propriétés algébriques Soit E un espace ane réel. Dénition 1.1.1. Soient x et y deux points de E . On appelle y l'ensemble [x; y] = {αx + (1 − α)y; α ∈ [0; 1]}. segment d'extrémités x et Dénition 1.1.2. Une partie

1° On considère la fonction affine f telle que f(-1)=5 et f(1)=1 a) La fonction f est représentée par une droite passant par les points A et B de coordonnées (-1; ) et ( ; ) b) Le coefficient directeur de cette droite est égal à c) L'ordonnée à l'origine de cette droite est égale à d) Le point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses a pour coordonnées 2° On considère la fonction affine g telle que g(-1)=-2 et g(1)=3 a) La fonction g est représentée par une droite passant par les

LEÇON N°3 LE THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE Le Théorème de Thalès Savoir-Faire Cours et conseils Décrire simplement la figure, en n'oubliant pas que la condition d'utilisation de ce théorème est l'existence de deux droites parallèles ! Exemple Je sais que : . Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en G. . Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. . AG = 2 cm ; GC = 3 cm ; BG = 5 cm et CD = 7 cm. Or : D'après le théorème de Thalès Hypothèses. Si . Les droites (d) et (d') sont sécantes

+ v)' = u '+v' (ku )' = ku ' (uv)' = u ' v + uv' v' ⎛1⎞ ⎜ ⎟ =− 2 v ⎝v⎠ ⎛ u ⎞ vu '−uv' ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠ ' ' Quotient de deux fonctions a) fonction affine f définie par : f(x) = ax +b : Y. Carassou Page 1 Etude_fonctions_exemples.doc Propriété : f ( x ) = ax + b , avec a ≠0où a et b sont deux réels donnés. Soit f la fonction affine x - Si a > 0 , alors la fonction f est croissante sur . - Si a < 0 , alors la fonction f est décroissante sur . Preuve : Si f(x) = ax + b, alors : f ’(x)

Exercice 1 :Vecteurs égaux - Point M Soit le vecteur v ( 1 ; 3 ) et le point A ( 4 ; 5 ). Vérification graphique : Déterminer le point M ( Xm ; Ym ) tel que v ( 1 ; 3 ) = AM Résolution de l'exercice : On a AC = ( Xm - Xa ; Ym – Ya ) = v ( 4 ; 5 ) Xm – Xa = 1 donc Xm – 4 = 1

Chapitre 13 – Évaluer ses capacités – Résolution détaillée Exercice 100 1. Méthode 2. On commence par calculer les coordonnées des vecteurs et : donc donc . . On constate que les vecteurs et ont les mêmes coordonnées. Ces vecteurs sont donc égaux. On en déduit que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. On utilise la méthode décrite dans l’exercice résolu 4, page 319 Conseil • Attention à l’ordre des points. ABCD parallélogramme alors = • On peut vérifier graphiquement les coordonnées

CORRECTION DU DEVOIR COMMUN (B) EXERCICE 1 : ( 6 POINTS) 1. Réponse B : f est une fonction affine avec a h(1) EXERCICE 2 : (5,5 POINTS) Questions 1, 3 (construction) : On utilise évidemment des parallélogrammes cachés pour la construction. H N 2. G M E 1 + 1 pts F EF GM EF Le point M est l'image de G par la translation de vecteur ⃗ donc ⃗=⃗ En particulier, GMFE est un parallélogramme, par conséquent, ⃗ ⃗ . 1,5 pts EG= FM 4. ⃗ ⃗ donc ⃗=⃗ EG= FM MF GE ⃗