Série convergente

= ln 1 + 1. Montrez que si vn converge, alors 2. Montrez que si un diverge, alors un converge. un diverge. Exercice 7 : Estimation du reste On consid`ere la s´erie un , o` u ∀n ∈ N, 1. D´emontrez que la s´erie un = sin(π/2n ) 2n un est convergente. On note pour tout entier n ∈ N Sn la somme partielle de rang n et S la somme de cette s´erie. 2. D´emontrez que Exercice 3 : Discutez suivant la valeur du param`etre r´eel α ∈ R, la nature de la s´erie de terme g´en´eral : 1. un = un+1 vn+1

sommes partielles {Sn }. Par commodit´e on d´esignera la s´erie de terme g´en´eral un par le symbole somme ∞ ∞ un . un ou dans certains cas n=0 n=1 Si la suite {Sn } poss´ede une limte somme S, on dira que la s´erie de terme g´en´eral un est convergente, et, dans ce cas on ´ecrira ∞ n S = lim Sn = lim n→∞ n→∞ un . uk = k=1 n=1 Par contre, si la suite {Sn } ne tends pas vers une limite finie, on dira que la s´erie de terme g´en´eral un est divergente. Exemples. 1. Soit la s´erie ∞ un ,

= ********** 8 EAMAC/DE/BS MARS 1997 Première Partie: Exercice 1 ∞ (5 points) + − + 1°) L’intégrale: 2°) Avec ϕ = est elle convergente? , étudier la convergence des 3 séries numériques: =ϕ , =ϕ − , =ϕ En cas de convergence, calculer la Somme. 3°)Discuter suivant les valeurs du réel α la convergence de la série numérique de terme général: = −α Exercice 2: (5 points) 1°) Intégrer l’équation différentielle (1): (x2-y2)y’=2xy. 2°) Le plan affine euclidien

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :   ∞ n=0 qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons

valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est la ne somme partielle (ou la somme partielle d’indice n, ou encore d’ordre n) de la série an . ® Remarques • Ainsi, une série n’est autre qu’une suite dont le terme général est la somme des premiers termes d’une autre suite. • Toute suite numérique peut être interprétée comme une série. En effet, si (an )

Corrigé, BAC Pondichéry 2011 Exercice 1. 1. p ( R ∩ V ) = 0.4 × 0.8 = 0.32 : réponse a. 2. p (V ) = 0.4 × 0.8 + 0.6 × 0.3 = 0.5 : réponse d. 3. pR (V ) = 0.7 : réponse b. p ( R ∩V ) p (V ) 0.8 0.4 0.6 0.2 0.3 0.7 4. pV ( R ) = Exercice 2. : réponse a. A1. Entre 2010 et 2015, le taux global d’évolution des annuités est donné par t = 1 24000 − 15000 = 0.6 soit 60%. 15000 A2. Le taux d’évolution annule moyen est donné par 1.6 5 − 1 ≈ 9.86% donc il n’est pas de 12%. A3. La formule

Table des matières I COURS . . iii 1 3 3 7 Séries entières 7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Le domaine de convergence simple d’une série entière est un disque au bord près . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Produit de deux séries entières . . . . .

Cours sur les suites Généralités Suites numériques 1) Définition : Une suite numérique est une fonction nommée u : IN → IR L'image d'un entier n est notée u(n) u(n) est appelé le terme général de la suite Le terme de rang n+1 est noté u(n+1) 2) Suites définies par une fonction Si f est une fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ , on peut lui associer la suite u(n) de terme général u(n)=f(n). les points de coordonnées (n,u(n)) appartiennent à la courbe d'équation

On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le n terme général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée l’ensemble ; an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche     x∈R: ∆=   ∞ n=0     . an xn converge   C’est le domaine de convergence de la série entière. Exemple 1. ∞ xn . n! n=0 xn et appliquons le critère de D’Alembert ; Posons fn (x) = n! fn+1 (x) x lim = 0. La série entière est

uniquement avec les données de 2000-2009). Cette possibilité sera traitée plus loin. Sélectionner la plage contenant les données (c'est le plus simple) Insertion>Diagramme... ou icône « Diagramme » La création se fait en 4 étapes, la troisième (Série de données) permet de se limiter à une partie des données. diagrammes1 page -4- Etape 1 : Type de diagramme Choisir le type et le sous-type souhaités; selon le type choisi, il y a certaines options (3D, lignes lisses, séries empilées