Série convergente

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juillet 2012 Enoncés Exercice 7 [ 03310 ] [correction] an z n une série entière de rayon de convergence R. Soit Déterminer le rayon de convergence de a2 z n n 1 Séries entières Rayon et domaine de convergence Exercice 1 [ 00971 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 n2 + 1 n ln n 2n a) z b) e−n z n c) z d) 3n n2 n 0 n 0 n 1 n 0 nn 3n z n! Exercice 8 [ 00975 ] [correction] On suppose que n |an | → ∈ R+

RN . 1) Convergence — Unicité de la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞ Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente. On dit que (un ) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si et

PROBLÈME 1 Etant donné une série convergente cuk (x), on note R, (x) = zuk (x) son reste d’ordre n, pour k20 k=n+l n E N et on se propose d’étudier la série c Z?,(x). n20 PARTIE 1.1. On suppose que uk (x) = (- l)k Xk, où x E R. 1 1.1.1. Déterminer l’ensemble Z des x E R tels que la série c (- l)kxk converge et pr6ciser sa k20 somme s (- l)knk pour x E Z. k=O 1.1.2. En supposant que x E Z, expliciter R,(X), montrer que la série xR,(x) n20 converge et calculer

exponentielle complexe xn est convergente. n! zn Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe z la série est convergente. n! On note f (z) la somme de cette série pour z ∈ C. Lemme 23.1 Pour tout réel x ≥ 0 la série Théorème 23.2 1. Pour tous nombres complexes λ et µ on a f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1. 2. La restriction de f à R coïncide avec la fonction exponentielle réelle. Pour cette raison, on note, pour tout nombre complexe z, ez la somme de la série qui définit ainsi la fonction

Chapitre II Séries Numériques La série constitue une généralisation de la notion de somme pour une succession in…nie de termes. L’étude des séries consiste à évaluer la somme d’un nombre …ni n de termes successifs, puis, par un calcul de limite, à identi…er le comportement de la série lorsque n devient indé…niment grand. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non ) des séries sans réaliser explicitement les calculs, comme on va le voir par la suite. 2-1

précédent (ui-1) : on n'introduira pas l'équivalent d'une variable simple par terme, mais seulement une variable par terme nécessaire selon le problème posé. Le nombre total (n) des termes peut être a priori connu ou non. De telles suites peuvent être convergentes ou divergentes. On étudiera essentiellement: - le calcul d'un terme particulier, en général avec une formule récurrente du type ui f(uj uk), j, k < i ui f(ui-1), - la somme et le produit cumulés de termes consécutifs. Le cadre des suites récurrentes

cours d’une succession d’appels indépendants. Y suit donc la loi géométrique G(1/4), c’est-à-dire que, pour k ≥ 1, 1 3 k−1 P (U = k) = × . 4 4 On applique la formule du cours pour obtenir l’espérance (on on calcule simplement la somme d’une série géométrique), et on trouve que E(U ) = 4. Exercice 7 - Le concierge - L2/Prépa Hec Notons pk la probabilité que la porte soit ouverte au k-ième essai et Vk l’événement "la porte n’est pas ouverte après le k-ième essai". On a pk = P (Vkc ∩ Vk−1

Définition et convergence Série entière Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins

B) Suite convergeant vers ( Soit [pic] la suite définie par : [pic]. 1) Montrer que [pic]. 2) Soit [pic] définie par : [pic]. Déterminer k = [pic]. 3) Montrer que [pic]. 4) Montrer que [pic]. 5) En déduire que la suite [pic] est convergente. Préciser sa limite. Retrouver ce résultat directement à l’aide de la question A) 3) d). 6) Exprimer [pic] en fonction de [pic] et montrer que la suite [pic] est croissante et que la suite [pic] est décroissante. En déduire que ces deux suites

Pour n ∈ Z tel que n = −x, ∗ M. M . |x + n|α f(x + n)| Puisque α > 1, les séries numériques de terme généraux respectifs sont convergentes. On en déduit que chacune des deux séries M M , n ∈ N, n = −x, et , n ∈ N, n = x, |x + n|α |x − n|α f(x + n) et f(x − n) sont absolument convergentes n 0 n 0 et donc convergentes. On en déduit encore que f(x) existe. Soit x ∈ R. En posant m = n + 1, on obtient f(x + 1) = f(x + 1 + n) = n∈Z f(x + m) = f(x). m∈Z