Série Z

Suites géométriques I/ Définition : On dit qu’une suite Un est géométrique, s’il ∃ un réel q tel que ∀ n∈N, on a Un+1=qUn. Le réel q est appelé raison de cette suite. Exemple : La suite Un définie par : Un=-4×5nest-elle géométrique ? Si oui, déterminer le premier terme et la raison. Réponse : On calcule alors : Un+1Un=-4×5n+1-4×5n=5 ⇨Un est géométrique de raison q=5 et de premier terme U0=-4×50=-4 . Remarque : Si a,b,c,d,… sont des termes consécutifs d’une suite géométrique, on dit que

Concernant les suites arithmétiques. Si on pose Un une suite arithmétique de raison r, cela veut dire que pour passer d'un terme à un autre on ajoute la raison : Un+1 = Un + r On peut ainsi définir ce qu'on appelle le terme général de la suite, c'est à dire qu'on peut déterminer n'importe quel terme de la suite en fonction de n : Un = Uo + n.r (avec Uo le premier terme) Il faut faire parfois attention, car on peut avoir U1 comme premier terme et non Uo, on écrira Un comme ceci : Un = U1 + (n-1)

Fiche Exercices Nº : 32001 MATHEMATIQUES Série S LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE Fiche 1 : Les suites Méthodes et exercices Etudier la monotonie d’une suite numérique Méthode 1 : Comparer u n +1 − u n à 0. Exercice 1 Etudier la monotonie de la suite définie par u n = n − 2 n pour tout n. Méthode 2 : Lorsque u n +1 = f (n ) pour tout n, f étant une fonction monotone dans un intervalle du type [n 0 , + ∞ [, (u n ) a le même sens de variation que f . Exercice 2 Etudier la monotonie de la suite définie

FRÉQUENTIELLE DES SIGNAUX TEMPORELS. NOTION DE SPECTRE 2.1 Description des signaux 2.1.1 2.1.2 2.1.3 L’exemple du signal sinusoïdal Représentation d’un signal composé Notion de spectre Décomposition en série de Fourier Exemple de calcul d’un spectre : signal en dents de scie Décomposition en série de Fourier à l’aide de Mathematica Définition Transformée de Fourier et spectre des signaux non périodiques à énergie finie Exemple de calcul du spectre d’un signal non périodique à énergie finie Relation

1999/00 Séance 12 : 3 avril 2000 La Transformée en Z Formule du Jour : .......................................................................1 Formule du Jour : La transformée en Z .................................2 Domaine de Convergence :.......................................................2 Exemples................................................................................5 Les Propriétés de la Transformée en Z......................................7 Propriété de Linéarité

DM 2 SUR LES SUITES ADJACENTES, VERS LE NOMBRE e TS 1. Factorielle d'un entier naturel. Soit n ∈ . On appelle factorielle de n l'entier noté n! défini par : n! = 1 × 2 × 3 × ... × n si n Par exemple, 3! = 1 × 2 × 3 = 6. Le but de cette première partie est de se familiariser avec les factorielles. (Les quatre questions sont indépendantes) a. Calculer 4!, 5! et 6!. Démontrer que 6! × 7! = 10! (sans calculer 10! et sans utiliser de calculatrice) b. Simplifier 1 et 0! = 1 (n + 1)! . n! *

Progression suite géométrique On appelle progression géométrique une suite de nombres tel que chacun est égal au précédent multiplié par un même nombre. Par exemple, qu' on multiplie 3 par 2, ce qui donne 6; puis 6 par par 2 ce qui donne 12; puis 12 par 2, ce qui donne 24 etc. La suite 3; 6; 12; 24... est une progression par quotient. Le nombre constant par lequel on multiplie chaque terme par avoir le suivant est la raison de la progression. Cette progression est dite progression par quotient

Etude d’une transformation de C([0, 1], R) V − Vn . x →0 1−α On applique le th´or`me (ou l’in´galit´) des accroissements finis a une application de R dans R, ℘ : z → e e e e ` Ψ(x, y, z) (l’application partielle, x et y sont fix´s). e e Comme ℘ (z) = ∂Ψ (x, y, z) est born´e par M en valeur absolue, on a bien ∂z |℘(z ) − ℘(z)| ≤ M.|z − z|, ce qui prouve que ϕ est de type U. 2.1) Une compos´e d’applications continues est continue. L’application propos´e est bien d´finie, et continue. e e e 1 2.2) En

) une suite géométrique de raison et de premier terme u1 = 20. 4 3 a) un = u1 × qn – 1 = 20 × ( )n – 1 4 3 10 – 1 3 b) u10 = 20 × ( ) = 20 × ( )9 ≈ 1,502 4 4 3 c) Soit (un) une suite définie pour tout entier n par : un = 3 × 5n + 1. a) un + 1 = 3 × 5n + 2 = 3 × 5n + 1 × 5 = un × 5 la suite est donc géométrique de raison q = 5 b) q = 5 > 1, la suite est donc croissante et sa limite est + ∞ car u0 > 0. c) En langage naturel, on a : ou Entrées : A un nombre entier Entrées : A un nombre entier Initialisation

CCP PSI 1 un corrig´ e 1 1.1 Une ´tude de s´ries. e e Etude de la fonction L. k 1.1 (−1)k−1 x est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle si |x| < 1 et non born´e sinon e e e k (croissances compar´es). Par lemme d’Abel, le rayon de convergence de la s´rie enti`re est ´gal e e e e a ` 1. L est donc d´finie au pire sur ] − 1, 1[ et au mieux sur [−1, 1]. Pour x = 1, il y a convergence e de la s´rie (s´ries de Riemann altern´e ou r`gle sp´ciale, le terme g´n´ral ´tant d´croissant en e e