Série

CCP MP I - ann´e 2000 e I CU dans C 0 ([0, 1], R) |fn (x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) → 0 quand n → +∞ et p quelconque par hypoth`se. Donc la suite e (fn (x)) est de Cauchy pour tout x, dans R complet, donc converge. la convergence simple ? 2) Une suite de Cauchy est born´e, donc on peut ´crire |fn(x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) ≤ M avec un e e majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ;

) une suite géométrique de raison et de premier terme u1 = 20. 4 3 a) un = u1 × qn – 1 = 20 × ( )n – 1 4 3 10 – 1 3 b) u10 = 20 × ( ) = 20 × ( )9 ≈ 1,502 4 4 3 c) Soit (un) une suite définie pour tout entier n par : un = 3 × 5n + 1. a) un + 1 = 3 × 5n + 2 = 3 × 5n + 1 × 5 = un × 5 la suite est donc géométrique de raison q = 5 b) q = 5 > 1, la suite est donc croissante et sa limite est + ∞ car u0 > 0. c) En langage naturel, on a : ou Entrées : A un nombre entier Entrées : A un nombre entier Initialisation

CCP PSI 1 un corrig´ e 1 1.1 Une ´tude de s´ries. e e Etude de la fonction L. k 1.1 (−1)k−1 x est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle si |x| < 1 et non born´e sinon e e e k (croissances compar´es). Par lemme d’Abel, le rayon de convergence de la s´rie enti`re est ´gal e e e e a ` 1. L est donc d´finie au pire sur ] − 1, 1[ et au mieux sur [−1, 1]. Pour x = 1, il y a convergence e de la s´rie (s´ries de Riemann altern´e ou r`gle sp´ciale, le terme g´n´ral ´tant d´croissant en e e

Corrigé IE suites Exercice 1 1. (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 =−5 et de raison r =7. 1) * u1 = u0+r =−5+7 =2. * u2 = u1+r =2+7 =9. 2) La suite est arithmétique donc un= u0+nr =−5+n×7 = 7n−5. d'où u40 = 7×40−5 = 280−5 = 275. 2. (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison q = −2. 1) * u1 = qu0 = −2×3 = − 6. * u2 = qu1 = −2×(−6) = 12. 2) La suite est géométrique donc un= u0qn un = (−2)n ×3. d'où, u10 = (−2)10 ×3 =1 024×3 = 3 072. 3)La somme des 10

Activité 1 : On étudie l'évolution d'une population de rongeurs sur une île pendant plusieurs années et on a représenté graphiquement les premiers termes des suites ainsi obtenues. a) b) c) d) e) f) 1) Dans chacun des cas suivants, décrire l'évolution observée. On souhaite utiliser ces études pour prévoir la population à l'avenir, en supposant que l'évolution continue de la même façon. 2) Dans quel(s) cas la population semble-t-elle se stabiliser ? Autour de quelle « population limite » ? →

Exercice 3 : On considère la suite (un ) définie par : un+1 = −0, 5un + 5 u0 = 50 On considère également la suite (vn ) définie par : vn = un − 10 3 1. Remarquons d’abord que pour tout entier n ∈ N, vn = un − 10 10 ⇐⇒ un = vn + 3 3 Ensuite, soit n ∈ N : vn+1 = un+1 − 10 3 10 3 15 10 10 + − = −0, 5 vn + 3 3 3 1 10 5 = −0, 5vn − × + 2 3 3 5 5 = −0, 5vn − + 3 3 = −0, 5vn = −0, 5un + 5 − (vn ) est donc une suite géométrique de raison q = −0, 5 et de premier terme : v0 = u0 − 150 10 140 10 =

|0,0001 |44,21 |0,05 | |Total |- |248 |256,04 |64,6416 |245,99 |11,20 | b.3) L’ajustement de la série par la méthode de la modification moyenne relative ou de l’indice moyen de dynamique ([pic]) - voir la colonne 6, tableau 3. Cette méthode est utilisée lorsque les indices de variation ayant la base en chaîne (It/t-1) sont à peu près

www.everyoneweb.fr/mathichem Série d’exercices Calcul vectoriel Hichem Khazri 2esc CALCUL VECTORIEL EXERCICE N°1 Soit ABCD un parallélogramme de centre O uuuur uuur uuur uuur uuur uuur 1) Construire le point M tel que OM = OA + OD et le point N tel que ON = OB + OC uuuur uuur r 2) Montrer que OM + ON = 0 3) Quelle est la nature du quadrilatère ABNI EXERCICE N°2 Soit ABCD un parallélogramme uuur uuur uuur uuur 1) Construire les points E et F tels que : BE = 2 AB et AF = 3

7400 series TTL IC's: 7400...7449 What would we do without them? 7400 Quad 2-input NAND gates. 1A 1B /1Y 2A 2B /2Y GND +---+--+---+ |1 +--+ 14| |2 13| |3 12| |4 7400 11| |5 10| |6 9| |7 8| +----------+ VCC 4B 4A /4Y 3B 3A /3Y +---+---*---+ | A | B |/Y | +===+===*===+ | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | +---+---*---+ __ /Y = AB 7401 Quad 2-input open-collector NAND gates. /1Y 1A 1B /2Y 2A 2B GND +---+--+---+ |1 +--+ 14| |2 13| |3 12| |4 7401 11| |5 10| |6 9| |7 8| +----------+

Une série chronologique est une série statistique dans laquelle les valeurs du caractère sont fonction du temps. L’étude d’une telle série consiste à dégager des propriétés essentielles ( tendance à long terme, variations saisonnières ). La tendance générale peut être mise en évidence par une droite appelée « droite de tendance » dont une équation peut être trouvée par la méthode de Mayer ou la méthode des moindres carrés . L’utilisation des moyennes mobiles permet d’atténuer les variations saisonnières