Simplexe

Dans la réalité, il est fréquent d’avoir à optimiser l’utilisation de plusieurs ressources rares. Lorsque le choix de production se limite à 2 produits, il est possible de résoudre le problème graphiquement, sinon il faut faire appel à la méthode du simplexe ou à l’outil solveur d’un tableur. La résolution graphique se réalise en plusieurs étapes : - définition des contraintes, - représentation graphique des contraintes et identification des programmes de production réalisables, - définition et représentation

Newton . . . . . . . . . . . 3.3 Les méthodes utilisant des directions conjuguées . . . . . . . . . 3.3.1 Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Convergence des méthodes de directions conjuguées . . . . 3.4 La méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Etude comparative des méthodes d’optimisation sans contraintes 4 Méthodes itératives d’optimisation avec contraintes 4.1 Les méthodes de directions admissibles . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1

contraintes. La valeur à optimiser et les contraintes sont très souvent des fonctions linéaires des paramètres. Il existe alors diverses techniques pour résoudre ce problème. Nous allons présenter deux d’entre elles : la méthode géométrique et le simplexe. 3.2. La forme canonique L’objectif de la programmation linéaire est de trouver la valeur optimale d’une fonction linéaire sous contraintes linéaires. La fonction à optimiser est baptisée fonction coût ou fonction économique. On la nomme généralement

(X 3 + X 2 + 1), qui donne un code de param`tres (4, 7). e On reconnaˆ un autre code de Hamming. ıt g(X) = (X + 1)(X 3 + X + 1), qui donne un code de param`tres (3, 7). e On reconnaˆ un code simplexe. ıt g(X) = (X + 1)(X 3 + X 2 + 1), qui donne un code de param`tres (3, 7). e On reconnaˆ un autre code simplexe. ıt g(X) = (X + 1)(X 3 + X + 1)(X 3 + X 2 + 1) = 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 , qui donne un code de param`tres (1, 7). On reconnaˆ le code de r´p´tition pure. e ıt e e Et c’est tout

q u e e Ak = (ABk )−1 Ak = (aj k lig(i)k ) i=1,mk , o` ”lig” est une application lin´aire d´finie j=1,nk par : Bk −→ {1, . . . , mk } i lig : −→ lig(i) = position ligne de la variable de base xk dans le i tableau du simplexe ` l’´tape k. a e q B Ck = Ck − πk Ak , avec πk = (Ck k )(ABk )−1 . k q Γk = j ∈ Nk | (c1 )j < 0 et (ci )j > 0 pour au moins un i, i = 2, r . k k q Ωk = {j ∈ Nk | (c1 )j = 0}. k q Ψk = j ∈ Nk | (c1 )j < 0 et (ci )j <

. . . . . . . . . . . 7 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 13 15 15 16 17 18 18 18 19 19 20 21 22 22 23 23 25 26 26 4 1.8 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Une méthode graphique . . . . . . . 1.8.2 La méthode du simplexe . . . . . . . 1.8.3 Le simplexe en dimension supérieure 1.8.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TABLE DES MATIÈRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Flot Maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Programmation linéaire : la méthode géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Programmation linéaire : le simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Non classifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Corrections 23 2.1 Ordonnancement . . . . . . . . . . .

..........................................................................................34 Chapitre III. M´thode simplexe .......................................................................50 e I. M´thode du simplexe..................................................................................................................50 e II. Description de l’algorithme du Simplexe ......................................................................................52 III. Exemple d’apprentissage

PARTIE 2 : PROGRAMMATION LINÉAIRE – ALGORITHME DU SIMPLEXE – DUALITÉ I. PROGRAMMATION LINÉAIRE – ALGORITHME DU SIMPLEXE A. INTRODUCTION B. DÉFINITIONS 1. Objectif 2. Définition 3. Résolution d’un programme linéaire C. FORMES REMARQUABLES D’UN PROBLÈME DE PROGRAMMATION LINÉAIRE D. ÉTUDE D’UN CAS SIMPLE 1. Énoncé du problème 2. Étude géométrique MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES À LA GESTION 3. Méthode algébrique 4. L’algorithme du simplexe – Méthode des tableaux E. EXERCICES CORRIGÉS

13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 17 18 18 18 19 19 20 21 22 22 23 23 25 26 26 4 TABLE DES MATIÈRES 1.8 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Une méthode graphique . . . . . . . 1.8.2 La méthode du simplexe . . . . . . . 1.8.3 Le simplexe en dimension supérieure 1.8.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 32 37 38