Sous-espace supplémentaire

. . . 2 Espace vectoriel 2.1 Introduction au groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Sous-espace vectoriel engendré par une partie d’un espace vectoriel . .

Exo7 Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base Exercice 1 1. Montrer que les vecteurs v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 1) et v3 = (1, 1, 0) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur w = (1, 1, 1) dans cette base (v1 , v2 , v3 ). 2. Montrer que les vecteurs v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0) et v3 = (1, 0, −1) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) et w = (1, 2, −3) dans cette base (v1 , v2 , v3 ). 3.

Famille de vecteurs Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs Famille génératrice Famille libre, famille liée Base d'un espace vectoriel Composantes dans une base Soient E un K -espace vectoriel et F=(e⃗ i)i∈I une famille finie de vecteurs de E. Quitte à réindexer celle-ci, on suppose que les éléments de cette famille sont indexés sur l'ensemble I={1,…,n}. On considère donc une famille F=(e⃗ i)1≤i≤n de vecteurs de E qu'on peut encore écrire F=(e⃗ 1,…,e⃗ n). Dans le cas

DP - SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE FAMILLE DE MATRICES Dans l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk

appelée base canonique en raison de sa simplicité. Il existe une infinité de bases de R2, mais toutes les bases sont formées de 2 vecteurs indépendants. Si v = [pic], v est un vecteur de R2 car v a deux composantes (1 et 2). Tout vecteur de R2 se met sous la forme d’une combinaison linéaire unique des vecteurs d’une base quelconque de R2 (théorème). En particulier v = 1 * e1 + 2 * e2. Comme v = 1 * e1 + 2 * e2, on peut donc écrire que : f(v) = f(1 * e1 + 2 * e2 );

générale 4/ des dimensions supplémentaires ? L'espace: une définition Intuitivement : cadre de nos déplacements Plus généralement: planètes, étoiles, galaxies... objets du quotidiens molécules, atomes, particules... Mathématicien: nombreux espaces dimension, rigidité, platitude ou courbure... Physicien: cherche un espace adapté à la modélisation d'une situation L’espace et le temps Relativité restreinte Relativité générale Dimensions supplémentaires Dimensions Espace de dimension 1 (1D) L’espace

c Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI Espaces vectoriels et applications linéaires Dans ce chapitre, K est l’un des corps R ou C. Tous les résultats présentés sont en réalité vrais pour un corps K quelconque — à l’exception de ceux du paragraphe sur les symétries. La notion d’espace vectoriel introduite dans ce chapitre est un nouvel exemple fondamental de structure algébrique — après les groupes, les anneaux et les corps. Cependant, alors que vous n’aviez pratiquement rien à savoir

PowerPoint ........................................................................ 2 Nommer et enregistrer votre présentation .................................................................................... 4 Liens vers des informations supplémentaires ................................................................................. 4 3. Ajouter, réorganiser ou supprimer des diapositives ....................................................................... 4 Identifier le nombre de diapositives

Exo7 Espaces vectoriels ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✶✳ ❊s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❞é❜✉t✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✷✳ ❊s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❢✐♥✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✸✳ ❙♦✉s✲❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❞é❜✉t✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✹✳ ❙♦✉s✲❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭♠✐❧✐❡✉✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✺✳ ❙♦✉s✲❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❢✐♥✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✻✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭❞é❜✉t✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✼✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭♠✐❧✐❡✉✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✽✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭❢✐♥✮ La notion d’espace vectoriel est une structure fondamentale des mathématiques modernes. Il s’agit de dégager

c Christophe Bertault - MPSI Espaces euclidiens Dans ce chapitre, on travaille seulement avec le corps de base R. Les lettres n, p, q . . . désignent des entiers naturels non nuls. Produit scalaire, norme et distance 1 1.1 Produit scalaire Définition (Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien) • Soit E un K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive, i.e. toute application (·|·) : E × E −→ R : ¬