Suite définie par récurrence

tout n. Montrer que f = id. indication. Montrer par récurrence sur n que f (m) ≤ n ⇒ m ≤ n. Prolongements d’un ordre partiel Montrer que tout ordre partiel peut se prolonger en un ordre total. On pourra commencer par le cas où l’ensemble sous-jacent est fini. Théorème de Cantor-Bernstein Soient f : X → Y et g : Y → X deux applications injectives. Construire à partir de f et g une bijection entre X et Y. indication. Considérer les suites définies par X0 = X f (Xk ) ; voir que f est une bijection de

est généralement décroissante et peut être concave ou convexe, selon les cas. En construisant les deux courbes, ou dans un cas plus simple les deux droites, on obtient la situation du marché. La rencontre de l’offre et de la demande permet de définir le point d’équilibre. Ce point définit le prix pour lequel l’offre égalise la demande, c’est-à-dire le point où se réalise l’échange. On appelle les coordonnées correspondantes prix d’équilibre et quantité d’équilibre. Tant que ce point n’est pas

nombres transcendants, ainsi que les définitions générales autour de la transcendance. Nous étudierons par la suite la démonstration de la transcendance des nombres de Liouville que nous aurons définis préalablement. Nous nous attacherons ensuite à démontrer la transcendance de e puis celle de π. Enfin, nous proposerons une démonstration du théorème de Lindemann-Weierstrass qui permet de définir la transcendance de certaines puissances de l'exponentielle. HistoriqueSi la notion de nombre irrationnel

pas du côté de la divine proportion qu'il faut chercher à comprendre les rythmes du Saint Jérôme de Léonard de Vinci • Architecture Le théâtre d'Épidaure contient deux séries de gradins, l'une de 21, l'autre de 34, deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci dont le rapport est proche du nombre d'or. Des autres exemples ou on observe la proportion divine: Chapelle NotreDamedu-Haut Le Corbusier s'est inspiré du dessin d'une carapace de crabe pour concevoir le toit. De plus, l'édifice se veut

vérifiant : (X + 1)P ′ = nP . 1. Trouvez le terme dominant de P . 2. Trouvez une relation de récurrence entre les coefficients de P . 3. Calculez ces coefficients et vérifiez que P s’exprime comme le produit d’une constante et d’une puissance d’un polynôme de degré 1. 4. Retrouvez ce résultat avec la notion de multiplicité. Exercice 27 On considère la famille de polynômes définies par la relation de récurrence suivante: P0 = 1, P1 = X et ∀n ∈ N, Pn+2 = 2XPn+1 − Pn 1. Calculer P2, P3, déterminer leurs

tanh est dérivable sur R et que, pour tout réel x : (tanh) ′ (x) = sinh cosh ′ (x) = sinh ′ (x)cosh(x) − sinh(x)cosh ′ (x) cosh2 x − sinh2 x 1 = = > 0. 2 2 cosh (x) cosh x cosh2 x Donc, tanh est dérivable et strictement croissante sur R. Par suite, tanh établit une bijection de R sur tanh(R). Or, tanh(R) =] lim tanh(x), lim tanh(x)[=] − 1, 1[= I. x→ −∞ x→ +∞ Donc tanh établit une bijection de R sur I =] − 1, 1[. 2.- Soit x ∈ R. tanh ′ (x) = cosh2 x − sinh2 x = 1 − tanh2 x. cosh2 x Donc

Dérivabilité Z  ZZ  Z    Z Z  Z Z Exo7 1 Calculs Exercice 1 Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Correction si x > 1 [000699] Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication

devient inférieure ou égale à 20 individus. Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite (un) définie par :{ u0 = 0,6 un+1 = 0,75un (1− 0,15un) où pour tout entier naturel n, un désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année 2020 +n. 1) Estimer, selon ce modèle, le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2021 puis au début de l’année 2022. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par f (x) = 0,75x(1− 0,15x). 2) Montrer que la fonction f est croissante

part voire même éliminées. Les opérateurs dans ce systèmes étaient dépendants des machines, sans presque aucune marge de manœuvre. Les gaspillages engendrés par ce système étaient énormes et avaient une répercussion directe sur les coûts et par la suite sur le prix de vente. L’approche Lean postule que la valeur pour le client est crée dans l’atelier et non dans les bureaux fonctionnels : La production visée (calculée selon le takt time) est assurée avec le maintien strict des standards et l’entretien

Exo7 Fonctions dérivables 1 Calculs Exercice 1 Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 si x > 1 soit dérivable sur R∗+ . Indication Correction Vidéo [000699] Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0.