Symétrie Candide

points A(–3 ;1), B(–1 ;4) et C(1 ;1). Montrer que le triangle ABC est isocèle et calculer une valeur approchée à 0,01° près de l’angle au sommet. Voir la figure ci-dessous. [pic] Autre façon : D’après la figure, le triangle ABC admet un axe de symétrie passant par B donc il est isocèle en B. Pour calculer une valeur approchée de l’angle au sommet, on calcule le produit scalaire [pic]de deux façons : en utilisant le théorème du cosinus : [pic]= [pic]= 13 cos[pic] en utilisant la forme analytique :

si pour tout réel ������ on a : Définition : "Centres de symétrie" Définition : "Axes de symétrie" Le point Ω(������; ������) est un centre de symétrie de la courbe ������������ ssi pour tout ������ ∈ ������������ on a : (������������ − ������) ∈ ������������ et ������(������������ − ������) = ������������ − ������(������) Le repère (������, ������ ������ est orthogonal. ⃗, ⃗) La droite ∆: ������ = ������ est un axe de symétrie de la courbe ������������ ssi pour tout ������ ∈ ������������

2. Recherche d'un axe de symétrie. Compte tenu du domaine de définition de f, s'il y a un axe de symétrie pour la courbe C, son équation est x=2. Démontrons-le : On a, pour tout réel xÃ2 : f(2−x)=−4(2−x) ) f(2−x)=−8+4x ) f(2−x)=−4 ). Par ailleurs : f(2+x)=−4(2+x) ) f(2+x)=−8−4x ) f(2+x)=−4 ). On a bien, pour tout réel xÃ2 : f(2−x)=f(2+x). Donc la courbe C a pour axe de symétrie l'axe d'équation x=2.

impaire. 3. Autres éléments de symétrie Soit f une fonction définie sur Df . On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , I , J). E Cf admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie si et seulement si : • Df est symétrique par rapport à a ; • pour tout réel f (a − h ) = f (a + h ) J h tel que a + h ∈Df , O I a–h a a+h E M K J M’ O I a–h a a+h Cf admet le point K(a ; b) comme centre de symétrie si et seulement si : • Df est symétrique

ses trois sommets. Attention ! Le centre d'inertie d'un quadrilatère ABCD est, en général, différent de l'isobarycentre des sommets A, B, C et D ! (Voir exemple ci-dessous) Principes de symétrie · Si la plaque admet un centre de symétrie, alors c'est son centre d'inertie. · Si la plaque admet un axe de symétrie alors son centre d'inertie est sur cet axe. Principe de juxtaposition Si une plaque P1 d'aire a1 a pour centre d'inertie I1 et une plaque P2 d'aire a2 a pour centre d'inertie I2 alors la

opposées, la reproduction exacte, à la gauche d’un axe, de ce qui est à droite. Il faut rendre cette justice aux Grecs, auteurs du mot symétrie. La symétrie est visible dans la façade et le plan en forme de croix grecque. Elle se manifeste dans le bâtiment de corps cylindrique couronné d’un dôme et accolé à un portique qui rompt la symétrie. Organisation en damier Portugal, Mies van der Rohe  Château Chambord

polygone régulier, etc. a1 c1 b1 a2 c1 c2 b2 b1 a3 c3 a1 c1 a2 b3 c2 a4 b1 c4 b4 Figure 3.1 : Décomposition des sections en trapèzes. Certaines formes à axe de symétrie horizontal peuvent aussi être calculées, mais pas les formes à axes de symétrie inclinés. = = Figure 3.2 : Cas des sections en L. Un cercle est assimilé automatiquement par le programme à un polygone (avec douze trapèzes). 3.2 Aciers Les aciers sont décrits par lits

permettre l’étude complète de la fonction polynôme g, c’est-à-dire d’en donner les variations et la courbe rapidement. II) Etude générale, Tableau de variations, Courbe La courbe de la fonction g est une parabole. Quand elle admet un axe de symétrie, il s’agit de la droite d’équation = s. Remarque. Voir la résolution de l’exercice-type I ci-dessous pour le caractère symétrique de la courbe. 1) Supposons a strictement positif Alors la fonction g est strictement décroissante sur tout

possibilité de Utiliser les propriétés des symétries traduire numériquement des propriétés géométriques et axiale ou centrale. permet de résoudre certains problèmes par la mise en œuvre d’algorithmes simples. Géométrie au collège : 1.1) Classe de 6ème • Propriétés des droites parallèles, des droites perpendiculaires • Symétrie axiale, appelée aussi symétrie orthogonale • Médiatrice d'un segment 1.2) Classe de 5ème • Définition et propriétés de la symétrie centrale ; • Inégalité triangulaire

deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants égaux alors ces deux droites sont parallèles. (5ème) Transformations ● ● Par une symétrie axiale , l'image d'une droite est une droite, l'image d'un segment est un segment de même longueur, l'image d'un angle est un angle de même mesure. (6ème) Par une symétrie centrale, l'image d'une droite est une droite parallèle, l'image d'un segment est un segment parallèle et de même longueur, l'image d'un angle est un angle de